الرياضيات الف سل الدرا سي الأول للصف الثالث المتوسط الطبعة التجريبية 1432 ه م

Transcript

1 الرياضيات للصف الثالث المتوسط الف سل الدرا سي الأول الطبعة التجريبية 142 ه م قررت وزارة التربية والتعليم بالمملكة العربية ال سعودية تدري س هذا الكتاب وطبعه على نفقتها يوزع جمانا وال يباع

2 Original Title: Algebra By: Dr. John A. Carter, Ph.D. Dr. Gilbert J. Cuevas, Ph.D. Dr. Roger Day, Ph.D., NBCT Dr. Carol Malloy, Ph.D. Dr. Berchie Holliday, Ed.D. Beatrice Luchin Dinah Zike CONSULTANTS Mathematical Content Prof. Viken Hovsepian Prof. Grant A. Fraser Prof. Arthur K. Wayman Gifted and Talented Shelbi K. Cole College Readiness Robert Lee Kimball, Jr. Graphing Calculator Ruth M. Casey Jerry Cummins Mathematical Fluency Robert M. Capraro Pre-AP Dixie Ross Reading and Writing ReLeah Cossett Lent Lynn T. Havens الرياضيات اأعد الن سخة العربية: سركة العبيكان للأبحاث والتطوير التحرير والمراجعة والمواءمة د. نا شر بن حمد العوي شق محمد بن عبداهلل الب شي ص عبدالحكيم عبداهلل شليمان شالح بن عبد اهلل الزيد محمد عبدالوهاب العالم التعريب والتحرير اللغوي نخبة من المتخ ش شين اإعداد ال سور د. شعود بن عبدالعزيز الفراج English Edition Copyright 2010 the McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Arabic Edition is published by Obeikan under agreement with The McGraw-Hill Companies, Inc حقوق الطبعة الإنجليزية محفوظة ل شركة ماجروهل, 2010 م. الطبعة العربية: مجموعة العبيكان لال شتثمار وفق ا لتفاقيتها مع شركة ماجروهل 2008 م/ 1429 ه. ل ي شمح ب إاعادة اإ شدار هذا الكتاب اأو نقله في اأي شكل اأو وا شطة, شواء اأكانت اإلكترونية اأو ميكانيكية, بما في ذلك الت شوير بالن شخ»فوتوكوبي«, اأو الت شجيل, اأو التخزين و ال شترجاع, دون اإذن خطي من النا شر.

3

4

5 تعد مادة الريا شيات من املواد الدرا شية الأ شا شية التي تهي ئ للطالب فر ص اكت شاب م شتويات ع ليا من الكفايات التعليمية, مما يتيح له تنمية قدرته على التفكري وحل امل شكالت, وي شاعده على التعامل مع مواقف احلياة وتلبية متطلباتها. ومن منطلق الهتمام الذي توليه حكومة خادم احلرمني ال شريفني بتنمية املوارد الب شرية وعي ا باأهمية دورها يف حتقيق التنمية ال شاملة, كان توجه وزارة الرتبية والتعليم نحو تطوير املناهج الدرا شية ويف مقدمتها مناهج الريا شيات, بدء ا من املرحلة البتدائية شعي ا لالرتقاء مبخرجات التعليم لدى الطلبة, والو شول بهم اإىل م شاف اأقرانهم يف الدول املتقدمة. وتتميز هذه الكتب باأنها تتناول املادة باأ شاليب حديثة, تتوافر فيها عنا شر اجلذب والت شويق, التي جتعل الطالب يقبل على تعلمها ويتفاعل معها, من خالل ما تقدمه من تدريبات واأن شطة متنوعة, كما توؤكد هذه الكتب على جوانب مهمة يف تعليم الريا شيات وتعلمها, تتمثل فيما ياأتي: الرتابط الوثيق بني حمتوى الريا شيات وبني املواقف وامل شكالت احلياتية. تنوع طرائق عر ص املحتوى ب شورة جذابة م شوقة. اإبراز دور املتعلم يف عمليات التعليم والتعلم. الهتمام باملهارات الريا شية, والتي تعمل على ترابط املحتوى الريا شي وجتعل منه كال متكامال, ومن بينها: مهارات التوا شل الريا شي, ومهارات احل ص الريا شي, ومهارات جمع البيانات وتنظيمها وتف شريها, ومهارات التفكري العليا. الهتمام بتنفيذ خطوات حل امل شكالت, وتوظيف ا شرتاتيجياته املختلفة يف كيفية التفكري يف امل شكالت الريا شية واحلياتية وحلها. الهتمام بتوظيف التقنية يف املواقف الريا شية املختلفة. الهتمام بتوظيف اأ شاليب متنوعة يف تقومي الطلبة مبا يتنا شب مع الفروق الفردية بينهم. وملواكبة التطورات العاملية يف هذا املجال, فاإن املناهج املطو رة والكتب اجلديدة شوف توفر للمعلم جمموعة متكاملة من املواد التعليمية املتنوعة التي تراعي الفروق الفردية بني الطلبة, بالإ شافة اإىل الربجميات واملواقع التعليمية, التي توفر للطالب فر شة توظيف التقنيات احلديثة والتوا شل املبني على املمار شة, مما يوؤكد دوره يف عملية التعليم والتعلم. ونحن اإذ نقد م هذه الكتب لأعزائنا الطلبة, لناأمل اأن ت شتحوذ على اهتمامهم, وتلبي متطلباتهم وجتعل تعلمهم لهذه املادة اأكرث متعة وفائدة. واهلل ويل التوفيق

6 المعادالت الخطية التهيئة للف سل المعادالت 10 معمل الجبر: حل المعادالت حل المعادالت ذات الخطوة الواحدة 18 معمل الجبر: حل المعادالت المتعددة الخطوات 24-1 حل المعادالت المتعددة الخطوات حل المعادالت التي تحتوي متغير ا في طرفيها حل المعادالت التي تتضمن القيمة المطلقة 5 اختبار الف سل 41 الدوال الخطية التهيئة للف سل العالقات الدوال 50-2 تمثيل المعادالت الخطية بياني ا حل المعادالت الخطية بياني ا معدل التغير والميل المتتابعات الحسابية كدوال خطية 75 اختبار الف سل 81 تحليل الدوال الخطية التهيئة للف سل 8 1- تمثيل المعادالت المكتوبة بصيغة الميل والمقطع بياني ا كتابة المعادالت بصيغة الميل والمقطع 90 - كتابة المعادالت بصيغة الميل ونقطة المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة اختبار الف سل 108 اختبار تراكمي )1(

7 المتباينات الخطية التهيئة للف سل حل المتباينات بالجمع أو بالطرح 112 معمل الجبر: حل المتباينات حل المتباينات بالضرب أو بالقسمة حل المتباينات المتعددة الخطوات 12 معمل الجبر: قراءة العبارات المركبة حل المتباينات المركبة حل المتباينات التي تتضمن القيمة المطلقة 14 اختبار الف سل 19 اأنظمة المعادالت الخطية التهيئة للف سل حل نظام من معادلتين خطيتين بياني ا 142 معمل الحا سبة البيانية: حل نظام من معادلتين خطيتين حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب تطبيقات على النظام المكون من معادلتين خطيتين اختبار الف سل 172 اختبار تراكمي )2(

8 المعادالت الخطية فيما سبق در شت الأعداد الحقيقية والعمليات عليها. واالآن أاحل المعادلت ذات الخطوة الواحدة. أاحل المعادلت المتعددة الخطوات. أاحل معادلت تت شمن القيمة المطلقة. اأحل م شائل كالمية توؤول اإلى معادلة خطية. لماذا قوارب نزهة: يوؤجر منتجع شياحي قوارب للنزهة, ويمكن كتابة معادلة لإيجاد شعر تاأجير اأي عدد من هذه القوارب. 1 اطو كل ورقة من المنتصف عرضي ا ثم قص عند خط الطي منظم اأفكار 2 ثب ت أنصاف األوراق الستة مع ا لتشك ل كتيب ا المعادالت الخطية: اعمل هذه المطوية لتساعدك على تنظيم مالحظاتك حول المعادالت الخطية مبتدئ ا بثالث أوراق A4 ق س حافة طولها 5 سم من أسفل الورقة العليا و 4 سم من أسفل الورقة الثانية وهكذا ثم اقلب المطوية سم 4 كل صفحة برقم الدرس وخص ص الصفحة األخيرة للمفردات الجديدة 8 الف سل 1: المعادلت الخطية

9 التهيئة س س للف سل للف سللل 1 س سخي س ت سخي س اال ستعداد: هناك بديالن للتأكد من فهمك للمهارات السابقة الضرورية: االأول البديل احسب قيمة كل مما يأتي: اختبار سريع أجب عن االختبار اآلتي انظر المراجعة السريعة قبل اإلجابة عن االختبار مراجعة سريعة 1 _1 2 2 _1 4 أ( أوجد قيمة: اكتب األعداد الكسرية على _ 9_ 2 صورة كسور غير فعلية 4 = 1 _1 2 2 _1 4 ) اضرب في مقلوب الكسر _2 ( 4 _9 = 1_ 1 بس ط 2 = _18 12 = ب( أوجد قيمة: 5)2-8( )2 _ 2 6 ) )4 4 _ 5 _1 ) _2 12-)8( ) )4-9( )5 2 )1-( + ]8+ 2 )-5([ 2 )7 8( نجارة: ي راد قص لوح خشبي طوله 7.2 م إلى ثالث قطع متساوية فما طول القطعة الواحدة مثال 1 احسب قيمة ما داخل القوسين 5)2-8(+ = 5)6(+ اضرب = +0 اجمع = مثال 2 أوجد محيط كل شكل مما يأتي: أوجد محيط الشكل المجاور: ح = 2 ل + 2 ض = )12.8(2 + )5.(2 ل= 12.8 ض = 5. = 25.6 = بس ط المحيط = 6.2 قدم ا )10 )9 11( سياج: يريد خالد وضع سياج حول حديقة مستطيلة ب عداها 6 م 4 م فكم متر ا من السياج يحتاج مثال اكتب عبارة جبرية لكل مما يأتي: 12( أقل من ثالثة أمثال العدد م بأربعة 1( الفرق بين مثلي العدد ب وأحد عشر اكتب عبارة جبرية تمثل الجملة اآلتية: "حاصل ضرب ثمانية في س مضاف ا إليه تسعة". 8 س + 9 العبارة هي: 8 س+ 9 البديل الثاني أسئلة تهيئة إضافية على الموقع الف سل 1: التهيئة للف شل 9 1

10 فيما سبق در شت العبارات الجبرية وتب شيطها. واالآن اأحل معادلت ذات متغير واحد. اأحل معادلت ذات متغيرين. المفردات المعادلة الحل مجموعة الحل المجموعة العن شر مجموعة التعوي ص المتطابقة المعادالت لماذا سجل المنتخب السعودي لكرة القدم أهداف في إحدى مبارياته في الشوط األول وانتهى اللقاء لصالحه ب 4 أهداف مقابل صفر يمكن أن تمثل التغير في عدد األهداف بالجملة: + س = 4 ويمثل العدد 1 حال لها أي أن المنتخب سجل هدف ا واحد ا في الشوط الثاني حل المعادالت: الجملة الرياضية التي تحتوي على عبارتين جبريتين يفصل بينهما إشارة المساواة )=( تسمى معادلة عبارة جبرية س + 7 س + 7 = 1 وعملية إيجاد قيم المتغير التي تجعل المعادلة صحيحة تسمى حل المعادلة معادلة وتمثل كل قيمة منها أحد حلول المعادلة ومجموعة هذه الحلول تسمى مجموعة الحل obeikaneducation.com المجموعة هي تجمع أشياء أو أعداد تكتب غالب ا بين القوسين { { ويفصل بين كل منها ) ( وي سمى كل عدد منها عنصر ا أما مجموعة التعويض فهي مجموعة األعداد التي نعوض بها عن قيمة المتغير لتحديد مجموعة الحل مثال 1 ا ستعمال مجموعة التعوي س أوجد مجموعة حل المعادلة 2 ك + 5 = 1 إذا كانت مجموعة التعويض هي }2 6{. 5 4 استعمل الجدول المجاور لتجد الحل استبدل ك في المعادلة 2 ك + 5 = 1 بجميع قيم مجموعة التعويض بما أن المعادلة صحيحة عندما ك = 4 فإن حل المعادلة 2 ك + 5 = 1 هو ك = 4 وتكون مجموعة الحل: }4{ تحقق من فهمك ك ك + 5 = 1 1 = 5 + )2(2 1 = 5 + )(2 1 = 5 + )4(2 1 = 5 + )5(2 1 = 5 + )6(2 أوجد مجموعة الحل لكل معادلة فيما يأتي إذا كانت مجموعة التعويض }0 { 2 1 : 1 اأ( 8 م - 7 = 17 1 ب( = 28 1(4 + د( سحيح اأم خطاأ خطاأ خطاأ شحيح خطاأ خطاأ 10 الف سل 1: المعادلت الخطية

11 يمكنك أحيان ا استعمال ترتيب العمليات لحل المعادالت مثال 2 من اختبار ما حل المعادلة: + 6 ( 5-2 )5 2 = ب اأ( ب( 6 ج( 1 د( 16 اقراأ فقرة االختبار: تحتاج إلى تطبيق ترتيب العمليات على العبارة لحل المعادلة وإيجاد قيمة ب حل فقرة االختبار: المعادلة األصلية + 6 ( 5 )5-2 2 = ب حساب القوى ( )5-2 = ب طرح 5 من = ب قسمة 20 على 2 = ب اجمع إذن الحل الصحيح هو د. = 16 ب تحقق من فهمك )2 ما حل المعادلة: ت = 9 2 5( - 2 ( اأ( ب( 6 ج( 14.2 د( 27 بعض المعادالت لها حل وحيد وبعض المعادالت ال حل لها مثال حل كل معادلة فيما يأتي: حلول المعادالت اأ( - 7 ( 4-2 )10 + ن = 10 المعادلة األصلية - 7 ( 4 ) ن = 10 حساب القوى ( ) ن = 10 طرح 10 من ن = 10 طرح 6 من ن = 10 القيمة الوحيدة ل ن التي تجعل المعادلة صحيحة هي 9 لذا يكون لهذه المعادلة حل وحيد هو 9 ب( ن) + )2 + 6 = 5 ن + 10( - ) قراءة الريا سيات ال يوجد حل الرمز الذي يمثل عدم وجود حل للمعادلة هو المعادلة األصلية ن) + )2 + 6 = 5 ن + 10( - ) اجمع + 2 اطرح من 10 ن) 5 ( + 6 = 5 ن + )7( خاصية اإلبدال في الضرب 5 ن + 6 = 5 ن + 7 الحظ أنه عند تعويض أي عدد حقيقي بدال من ن سيكون الطرف األيمن للمعادلة أقل من الطرف األيسر بواحد دائم ا لذا ال يمكن أن تكون المعادلة صحيحة وبالتالي فإنه اليوجد حل لها تحقق من فهمك حل كلا من المعادلتين اآلتيتين: اأ( 18( + )4 + م = 5( - (م ب( 8 4 ك = 6( - )4 ك- 2( )5 الدر س 1-1: المعادلت 11

12 ت سمى المعادلة التي تكون صحيحة لجميع قيم المتغير فيها متطابقة ويكون حلها مجموعة األعداد الحقيقية مثال 4 قراءة الريا سيات المتطابقات حل المعادلة: 2( 5 - ()8 ه + )6 = ]) 2 ه + ه( + ]6.2 2( 5 )8 - ( ه + )6 = ]) 2 ه + ه( + 2]6 المعادلة األصلية 10( ()8 ه - + )6 = ]) 2 ه + ه( + 2]6 اضرب 2 5 المتطابقة: هي معادلة طرفاها متكافئان دائم ا (2 ه + )6 = ]) 2 ه + ه( + 2]6 طرح 8 من 10 6 ه + 12 = ]) 2 ه + ه( + 2]6 خاصية التوزيع 6 ه + 12 = ] ه + 2]6 اجمع 2 ه + ه 6 ه + 12 = 6 ه + 12 خاصية التوزيع بما أن الطرف األيمن للمعادلة يساوي الطرف األيسر لها فليس مهم ا أن تعوض أي قيمة بدال من ه لذا فالمعادلة دائم ا صحيحة ويكون حلها مجموعة األعداد الحقيقية تحقق من فهمك حل كلا من المعادلتين اآلتيتين: 2 )ج - )6 = 4 4 اأ ) )ب + )1-5 = ب ب ) 5 - _1 حل معادالت بمتغيرين: تحتوي بعض المعادالت على متغيرين لذا من المفيد تكوين جدول للقيم واستعمال التعويض إليجاد قيم المتغير الثاني مثال 5 معادالت تحتوي متغيرين ات ساالت: يدفع حمزة 5 ريال شهريا ا رسوم اشتراك في خدمة الهاتف الجوال باإلضافة ل 0.25 ريال لكل دقيقة اتصال. اكتب معادلة وحلها إليجاد المبلغ الذي سيدفعه هذا الشهر إذا علمت أنه اتصل مدة 80 دقيقة. رسم اشتراك الخدمة مقدار ثابت والتغير هو في عدد دقائق االتصال لذا فالمبلغ الذي سيدفعه مقابل 80 دقيقة اتصال هو حاصل ضرب 0.25 في 80 لنفرض أن )ك( المبلغ الكلي الذي سيدفعه حمزة مقابل رسوم الخدمة واالتصال مدة 80 دقيقة المعادلة األصلية ك = 0.25 م + 5 عوض 80 بدل من م = )80( اضرب = اجمع = 55 إذن سيدفع حمزة 55 رياال هذا الشهر تحقق من فهمك 5( سفر: يقود رامي سيارته بمعدل 104 كلم في الساعة اكتب معادلة وحلها إليجاد الزمن الذي سيستغرقه للسفر مسافة 12 كلم 12 الف سل 1: المعادلت الخطية

13 تاأكد أوجد مجموعة الحل لكل معادلة فيما يأتي إذا كانت مجموعة التعويض }11 15{: )1 ن + 10 = 2 )2 7 = ج _ 2 ) 29 = س - 7 )4 )ك- 12)8 = 84 ه + _5 = 2 5( اختيار من متعدد: ما حل المعادلة 10 اأ( 10 ب( 15 ج( 20 د( 25 حل كل معادلة فيما يأتي: )6 س = )6(4 + ) = و مثال 1 مثال 2 المثاالن 4 = ج 1( + 5 ) ) أ + = )9 2( )5 + ج _ 10( تدوير: لتدوير الدهان غير المستعمل يتم خلط 5 جالونات من الدهان ثم وضعها في عبوة واحدة اكتب معادلة وحلها إليجاد عدد العبوات التي تسع 0000 جالون من الدهان مثال 5 تدرب وحل الم سائل أوجد مجموعة الحل لكل معادلة فيما يأتي إذا كانت )ص( تنتمي إلى مجموعة التعويض }1 9{ 7 5 )ع( تنتمي إلى مجموعة التعويض }10 18{: )11 ع + 10 = 22 )12 52 = 4 ع مثال 1 ص _ = )14 17 = 24 - ص 15 )1 )15 2 ع - 5 = 27 )16 4 )ص + )1 = 40 حل كل معادلة فيما يأتي: )17 أ = 2 - )2(9 )18 و = 56 ( ) االأمثلة 2 4 _ = ج )20 )6( - 5 أ = 14(4 - _) )19 )21 4( ) و = 25 ) س - ( + 2 )8 = ) ي = ( - )2()8 + ي )24 6 ك + ( 10 - )8 = 2( ) ك )25 ( 5 (ن + 21( - )12 = 15 ن + ) _ )1 = ر + ( _ ر - ( _22 )26 الدر س 1-1: المعادلت 1

14 27( مدر سة: تتسع قاعة االجتماعات في مدرسة ل 45 شخص ا على األكثر فإذا أراد مدير المدرسة ورائد النشاط والمرشد الطالبي االجتماع ببعض الطلبة شريطة أن ي حضر كل طالب ولي أمره فما أكثر عدد من الطلبة يمكن أن يحضر االجتماع 28( هند سة: ثماني منتظم محيطه 128 سم أوجد طول ضلعه 29( لياقة: يتمرن رياضي كتلته 91 كجم 4 ساعات يومي ا ويحتاج إلى 286 سعر ا حراري ا للحصول على الطاقة األساسية الالزمة له كما يحتاج خالل التدريب إلى 091 سعر ا حراري ا إضافي ا اكتب معادلة إليجاد السعرات الحرارية الكلية ك الالزمة لهذا الرياضي ثم حلها مثال 5 كو ن جدول لقيم كل معادلة فيما يأتي إذا كانت مجموعة التعويض }-2-1 2{: 1 0 )0 ص = س - 2 )1.25 س = ص حل كل معادلة فيما يأتي باستعمال مجموعة التعويض المعطاة: ) 14 )س + )5 = 126 { } )2 ت - 1 = 7 10{ } )4 22 = ن_ 62{ } حل كل معادلة فيما يأتي: 2 = د )6 ج = _2 - )9( )5 )7 ج + ( - 2 ) = 21 )8 ( - )9 + 7( - 2 ) 2 ب = 24 ب حدد إذا كان العدد المعطى بجانب كل معادلة فيما يأتي يمث ل حلا لها أم ل. )9 س + 6 = 15 ) ص = 26 ) ت - 10 = 4 يتناول الرياضي في أثناء التدريب خلطة معينة تزوده بالسعرات الحرارية الضرورية وتتكون من: 69 كربوهيدرات 20 دهون ا 11 بروتين ا ج _ - 4 = ك_ = 20 )4 10 و - 4 _ = )44 2 )42 5 كو ن جدول لقيم كل معادلة فيما يأتي إذا كانت مجموعة التعويض }-2-1 2{: س + 2 )45 ص = س + 5 )46-2 س - = ص )47 ص = _1 48( هند سة: مستطيل يزيد طوله على عرضه 2 سم ومثلث متطابق الضلعين طول قاعدته 12 سم ويزيد طول كل من ضلعيه اآلخرين 1 سم على عرض المستطيل اأ( ارسم كال من المستطيل والمثلث واكتب أبعادهما ب( اكتب عبارتين إليجاد محيطه مساوي ا لمحيط المثلث ج( أوجد عرض المستطيل إذا كان له محيط المثلث نفسه 49( اإن ساءات: يحتاج بناء كل طابق في إحدى البنايات إلى 10 أطنان من الحديد اأ( عر ف متغير ا واكتب معادلة إليجاد كمية الحديد الضرورية لبناء 15 طابق ا ب( كم طن ا من الحديد يحتاج إليه البناء 14 الف سل 1: المعادلت الخطية

15 50( تمثيلت متعددة: ستكتشف من خالل حل هذه المسألة المزيد حول طريقة كتابة المعادالت اأ( ح سي ا: استعمل المكعبات السنتمترية لبناء مجسم يشبه المجسم المجاور ب( جدولي ا: انقل الجدول المبين أدناه إلى دفترك وأكمله بتسجيل عدد طبقات المجسم والمكعبات المستعملة في ذلك عدد الطبقات عدد المكعبات ج ) تحليلي ا: كيف يتغير عدد المكعبات في المجسم كلما زادت الطبقات د( جبري ا: اكتب قاعدة إليجاد عدد المكعبات بداللة عدد طبقات المجسم م سائل مهارات التفكير العليا 51( تبرير: قارن بين المعادلة والعبارة 52( م ساألة مفتوحة: اكتب معادلة تمثل متطابقة 5( اكت سف الخطاأ: حل عصام وعدنان المعادلة: س= 4) - 2(+ 6 8 كما هو مبين أدناه أيهما على صواب وضح إجابتك عدنان س = (4 ) )1(4 = = 8 10 = _5 = 4 ع صام س = (4 ) )1(4 = = _6 + 4 = 8 4 _ = 4 54( تحد : أوجد جميع حلول المعادلة: س + 2 5= 0 55( اكتب: فسر كيف تحدد أن معادلة ما ليس لها حل حقيقي وأن حل معادلة أخرى هو مجموعة األعداد الحقيقية 56( اختيار من متعدد: يتوقع أن يحضر الحفل المدرسي 65 من الطالب فإذا كان عدد الطالب 00 طالب فكم طالب ا ي توقع حضورهم اأ( 50 طالب ا ج( 195 طالب ا ب( 65 طالب ا د( 105 طالب 57( هند سة: تحرك قارب بخاري وآخر شراعي من المرفأ نفسه ويبين الشكل أدناه حركتيهما فما المسافة بين القاربين اأ( 12 كلم ب( 15 كلم ج( 18 كلم د( 24 كلم تدريب على اختبار الدر س 1-1: المعادلت 15

16 معمل الجبر حل المعادالت يمكنك استعمال بطاقات الجبر لتمثيل حل المعادالت وحل المعادلة هو إيجاد قيمة المتغير الذي يجعلها صحيحة حيث تمثل البطاقة المتغير س والبطاقة العدد موجب 1 والبطاقة العدد سالب 1 كما تمثل البطاقة المتغير سالب س قواعد تمثيل المعادالت عند الجمع والطرح يمكن أن حتذف العدد نفسه من بطاقات اجلرب املتامثلة من كال طريف املساواة أو تضيفه دون أن تتغيري املعادلة البطاقة املوجبة الواحدة والبطاقة السالبة الواحدة من الوحدة نفسها تسميان زوج ا صفري ا ألن + 1 )-1(= 0 ويمكن أن حتذف أزواج ا صفرية من طريف املساواة أو تضيفها دون تغيري املعادلة ن ساط 1 معادالت الجمع حل المعادلة: س + = -4 مستعمل بطاقات الجبر. الخطوة 1: مث ل المعادلة ببطاقات الجبر ضع بطاقة واحدة س وثالث بطاقات من العدد موجب 1 في طرف وأربع بطاقات من العدد سالب 1 في الطرف اآلخر الخطوة 2: اعزل البطاقة س وحدها في طرف بإضافة بطاقات من العدد سالب 1 إلى الطرفين فيكون حل المعادلة: س = -7 ن ساط 2 معادالت الطرح حل المعادلة: س 2 = 1 مستعمل بطاقات الجبر. الخطوة 2: الخطوة 1: ضع بطاقة س واحدة وبطاقتين من العدد سالب 1 في طرف والعدد موجب 1 في الطرف الثاني ثم أضف بطاقتين إلى كال الطرفين من العدد موجب 1 جم ع البطاقات لتشكل أزواج ا صفرية ثم احذف األزواج الصفرية لتحصل على المعادلة: س = والتي هي حل للمعادلة 16 الف سل 1: المعادلت الخطية

17 التمثيل والتحليل: استعمل بطاقات الجبر لحل كل من المعادلت اآلتية: )1 س + 4 = 9 )2 س + )-( = 4- ) س + 7 = 2- )4 س + )2-( = 11 5( اكتب: إذا كانت أ = ب فام العالقة بني أ + ج و ب + ج وما العالقة بني أ ج و ب - ج عند حل معادالت الضرب يبقى الهدف هو نفسه أي فصل البطاقة س وحدها في طرف باستعمال قواعد القسمة قواعد تمثيل المعادالت عند الق سمة يمكن إعادة تنظيم البطاقات يف كل من طريف املعادلة يف جمموعات بحيث يكون عددها متساوي ا يف كال الطرفني دون أن يغري ذلك شيئ ا يف املعادلة يمكن إضافة جمموعات متساوية إىل كل من الطرفني دون تغيري املعادلة ن ساط معادالت ال سرب حل المعادلة: س= 12 مستعمل بطاقات الجبر. الخطوة 1: مث ل المعادلة بوضع بطاقات س في أحد طرفيها وبوضع 12 بطاقة من العدد موجب 1 في الطرف اآلخر الخطوة 2: وزع بطاقات العدد موجب 1 إلى مجموعات متساوية تقابل بطاقات س الثالث وبذلك تقترن كل بطاقة من س مع أربع بطاقات من موجب 1 ويكون حل المعادلة: س = 4 التمثيل والتحليل: استعمل بطاقات الجبر لحل كل من المعادلت اآلتية: )6 5 س = 15- )7 - س = 9- )8 4 س = 8 )9-6 س = 18 4 س _ = 5 ارشح اخلطوات التي تتبعها حلل هذه املعادلة جربي ا 10( خم ن: كيف تستعمل بطاقات اجلرب حلل املعادلة ا ستك ساف 2-1: معمل الجبر: حل المعادلت 17

18 فيما سبق در شت كيفية التعبير عن الجمل الكالمية بمعادلت. واالآن أاحل معادلت با شتعمال الجمع اأو الطرح. أاحل معادلت با شتعمال ال شرب اأو الق شمة. المفردات حل المعادلة المعادلت المتكافئة حل المعادالت ذات الخطوة الواحدة لماذا في موسم الحج لعام 140 ه بلغ عدد الحجاج القادمين من خارج المملكة حاج ا وفي العام 141 ه بلغ عددهم حاج ا ولمعرفة الزيادة في عدد حجاج عام 141 ه على العام السابق له نحل المعادلة: س = حل المعادالت با ستعمال الجمع اأوالطرح: يمثل المتغير في المعادلة العدد الذي يحققها وحل المعادلة هو إيجاد قيمة المتغير الذي يجعلها صحيحة وتتضمن عملية حل المعادلة فصل المتغير )الذي معامله 1( في أحد طرفي المعادلة وينتج عن كل خطوة من الخطوات المتبعة في الحل معادالت متكافئة والمعادلت المتكافئة لها الحل نفسه ويمكنك استعمال خاصية الجمع في المساواة لحل المعادالت مفهوم اأ سا سي خا سية الجمع في الم ساواة التعبير اللفظي: إذا كانت المعادلة صحيحة وأ ضيف العدد نفسه إلى كل من طرفيها فإن المعادلة المكافئة الناتجة هي أيض ا صحيحة الرموز: ألي أعداد حقيقية أ ب ج إذا كان أ = ب فإن أ+ ج = ب+ ج اأمثلة: = = = = = 6 17 = 17 اأ سف اإلى obeikaneducation.com مثال 1 حل المعادالت بالجمع 18 الف سل 1: المعادلت الخطية حل المعادلة: ج 22 =.54 الطريقة االأفقية الطريقة الراأ سية ج - 22 = 54 المعادلة األصلية ج 22- = = 22 + ج = أضف 22 إلى كل الطرفين ج = 76 بس ط ج = 76 وللتحقق من أن 76 هو الحل عو ض 76 بدال من ج في المعادلة األصلية تحقق: ج - 22 = 54 المعادلة األصلية تحقق من فهمك عو ض 76 بدل من ج = اطرح حل كلا من المعادلتين اآلتيتين: 1 اأ( = 11 ق ب( ر - 87 = -

19 كما يمكنك استعمال خاصية الطرح في المساواة لحل المعادالت بطريقة مماثلة الستعمال خاصية الجمع مفهوم اأ سا سي خا سية الطرح في الم ساواة التعبير اللفظي: إذا كانت المعادلة صحيحة وطرح العدد نفسه من كال طرفيها فإن المعادلة المكافئة الناتجة هي أيض ا صحيحة الرموز: ألي أعداد حقيقية أ ب ج إذا كان أ= ب فإن أ ج = ب ج اأمثلة: = = = = = = 70 اإر سادات للدرا سة الطرح إن طرح عدد ما يكافئ إضافة معكوس ذلك العدد اإلى اأ سف الطريقة الراأ سية + 6 م = = 6- م = 16 مثال 2 حل المعادالت بالطرح حل المعادلة: +6 م = 79. الطريقة االأفقية + 6 م = 79 المعادلة األصلية م = 79-6 اطرح 6 من كل الطرفين م = 16 بس ط اإر سادات للدرا سة حل المعادلة يمكنك استعمال الطريقة األفقية أو الرأسية لحل المعادلة وكلتا الطريقتين تعطي الحل نفسه للتحقق من أن 16 هو الحل عوض 16 بدال من م في المعادلة األصلية تحقق من فهمك حل كلا من المعادلتين اآلتيتين: 2 اأ( + 27 ك = 0 2 ب( 12- = ف + 16 = 9 الحظ أن المتغي ر س قد ق س م على حل المعادالت با ستعمال ال سرب اأو الق سمة: في المعادلة: س _ ولحل هذه المعادلة تخلص من المقام بضرب كال الطرفين في وي عد هذا مثاال على خاصية الضرب في المساواة مفهوم اأ سا سي خا سية ال سرب في الم ساواة اأ سف اإلى التعبير اللفظي: إذا كانت المعادلة صحيحة وضرب كال طرفيها في العدد نفسه )غير الصفر( فإن المعادلة المكافئة الناتجة صحيحة أيض ا الرموز: ألي أعداد حقيقية أ ب ج ج 0 إذا كان أ = ب فإن أ ج = ب ج إذا كانت س = 5 فإن س = 15 مثال: خا سية الق سمة في الم ساواة إذا كانت المعادلة صحيحة وقسم كل من طرفيها على العدد نفسه )غير الصفر( فإن التعبير اللفظي: المعادلة المكافئة الناتجة صحيحة أيض ا = ج _ ب الرموز: ألي أعداد حقيقية أ ب ج ج 0 إذا كان أ= ب فإن ج _أ 4- = _20-5 س _ = 5 مثال: س = -20 فإن الدر س 2-1: حل المعادلت ذات الخطوة الواحدة 19

20 ويمكنك أيض ا استعمال مقلوب العدد لحل المعادالت مثال حل المعادالت بال سرب اأوالق سمة حل كلا من المعادلتين اآلتيتين: _1 _2 ق = 2 اأ( 1_ المعادلة األصلية 2 _2 ق = 1_ اضرب كل الطرفين في 2 2 ق = 2 ( 2 ) ) ( 2 ) = 1 تحقق من الحل _2 ( 2 ق = 4 ب( = 9 - ر = 9 - ر المعادلة األصلية _9 = - ر _ - -1 = ر تحقق من الحل تحقق من فهمك - اقسم كل الطرفين على - ب _2 = 4 5 ل = 6 ب( - _1 _ اأ( مراجعة المفردات مقلوب العدد هو النظير الضربي لذلك العدد حل كلا من المعادلتين اآلتيتين: يمكن أيض ا استعمال مقلوب العدد وخصائص المساواة لحل مسائل من واقع الحياة مثال 4 من واقع الحياة حل المعادالت بال سرب من الذين أ جري عليهم _9 20 م سح: أ جري مسح على مجموعة من األشخاص فأجاب 225 أو نحو المسح بأنهم يفضلون قضاء اإلجازة الصيفية في مدينة الطائف. فما العدد التقريبي للذين أ جري عليهم المسح 225 التعبير اللفظي تسعة من عشرين ممن أجري عليهم المسح يساوي الطائف من أجمل المدن السياحية في المملكة لوقوعها في منطقة مرتفعة تتعرض للرياح الشمالية فمناخها معتدل صيف ا وهواؤها لطيف الرموز المعادلة افرض أن ش= عدد األشخاص الذين أجري عليهم المسح 225 = ش _9 20 9_ ش = 225 المعادلة األصلية 20 _ اضرب كل الطرفين في 9 _20 20 ش = ( 9 ) 1 = _9 _20 ) 20 () 9 ( _4500 ش = 9 _9 ) 9 _20 ( ش = 500 بس ط إذن أ جري المسح على 500 شخص تقريب ا 20 الف سل 1: المعادلت الخطية

21 تحقق من فهمك 4( زجاج: يحتاج وليد كي يصمم لوحة زجاجية إلى أن يكون خ مس الزجاج أزرق اللون فإذا استعمل 288 سنتمتر ا مربع ا من الزجاج األزرق فما كمية الزجاج التي استعملها وليد في تصميم اللوحة تاأكد حل كلا من المعادلت اآلتية وتحقق من صحة الحل: ل = _1 _2 )1 ق + 5 = )2 104 = ص - 67 ) االأمثلة -1 1 )6 س + 4 = 4 )4 1.5 = ص - )5.6-( )5 + ق = 4 م = 10 _2 )9 9 _ 4 = 6 أ_ )7 ن_ = 7 5- )8 8 قيمة مبيعاتها لدار رعاية 10( ت سوق: قر ر هاني أن يشتري ساعة ثمنها 240 رياال من مؤسسة تتبرع ب 1_ األيتام فكم رياال من ثمن الساعة يحو ل لدار رعاية األيتام مثال 4 تدرب وحل الم سائل حل كلا من المعادلت اآلتية وتحقق من صحة الحل: )11 ف - 9 = 14 )12 44 = ت - 72 )1 +18 ع = 40 االأمثلة -1 )14-4 أ = 48 ) )-ف( = 91 ) )-ت( = 45- _1 ت_ = )19 _ 5 _1 + أ = 8 2 _1 ف = 5- )18 - )17 _4 _2 + ر = - 9 _2 ب = 22- )22 _5 = ص - 2 ) )20 2( سيارات: معدل الوقت الذي يحتاج إليه صنع سيارة واحدة في الواليات المتحدة األمريكية 24.9 ساعة ويزيد هذا الوقت ب 8.1 ساعات على وقت صنع سيارة مشابهة في اليابان اكتب معادلة إليجاد معدل الوقت ل صنع سيارة واحدة في اليابان وحلها مثال 4 حل كلا من المعادلت اآلتية وتحقق من صحة الحل: ن = 14 _2 8 ص )26 _1 = _2 ) = 7 )24 ب _ ع _ 45 - = _2 5 _1 ن )29-2 _1 س )28 6 = - 2 = 5- )27 الدر س 2-1: حل المعادلت ذات الخطوة الواحدة 21

22 اكتب معادلة تمثل كل جملة فيما يأتي ثم ح له ا: 0( ستة أمثال عدد تساوي 12 1( ثلثان يساوي سالب ثمانية أمثال عدد 2( خمسة أجزاء من أحد عشر جزء ا من عدد تساوي 55 ( أربعة أخماس تساوي عشرة من ستة عشر جزء ا من عدد 4( ت سوق: يقارن عثمان بين نوعين من الشوكوالتة ي باعان في أحد المتاجر ويرغب في الحصول على أفضل سعر للقطعة الواحدة اأ( اكتب معادلة إليجاد سعر القطعة الواحدة من النوع )أ( ب( اكتب معادلة إليجاد سعر القطعة الواحدة من النوع )ب( ج( ما النوع الذي سعر القطعة منه أرخص فس ر إجابتك للسؤالين 6 5 اكتب معادلة ثم حلها: 5( طيران: اشترت إحدى شركات الطيران طائرة إيرباص )80 A( وأعلنت أن هذه الطائرة تقل نحو 555 مسافر ا أي بزيادة مقدارها 19 مسافر ا على عدد المسافرين الذين يمكن أن تقلهم طائرة البوينغ 747 فما عدد المسافرين الذين يمكن أن تقلهم طائرة البوينغ 747 6( وقود: ص ن فت نحو 5 ماليين سيارة وشاحنة في العام 2004 م بأنها ثنائية الوقود أي أنها يمكن أن تستعمل البنزين أو اإليثانول وقد ارتفع هذا العدد إلى 7.5 ماليين في عام 2006 م فكم زاد عدد السيارات والشاحنات الثنائية الوقود في عام 2006 م على ما كان عليه عام 2004 م يستخرج اإليثانول من الذرة وي عد فعاال حيث ينتج طاقة أكثر ب 25 من الطاقة المستعملة في عملية إنتاجه 7( مهن تعليمية: كان عدد معلمي المرحلة الثانوية في المملكة العربية السعودية عام 142 ه نحو معلم اأ( إذا كان عدد معلمي الحاسوب مضروب ا في 25 يساوي عدد جميع المعلمين فاكتب معادلة إليجاد عدد معلمي الحاسوب ثم حلها ب( إذا علمت أن عدد معلمي العلوم يزيد ب على عدد معلمي الحاسوب فما عدد معلمي العلوم في المرحلة الثانوية 8( احتفاالت: خصصت إدارة مدرسة متوسطة مبلغ 2500 ريال إلقامة حفل المدرسة السنوي وأنفقت منه 750 رياال لشراء الحلوى والعصير للحضور اأ( اكتب معادلة تمثل المبلغ المتبقي ثم حلها ب( إذا أنفقت اإلدارة أيض ا مبلغ 1475 رياال لشراء هدايا وجوائز للطالب المتفوقين فاكتب معادلة تمثل ما تبقى من المبلغ المرصود للحفل ج( إذا أنفق المبلغ المتبقي لشراء 5 كتب لمكتبة المدرسة لكل منها القيمة نفسها فما ثمن الكتاب الواحد 22 الف سل 1: المعادلت الخطية

23 م سائل مهارات التفكير العليا 9( حد د املعادلة التي ختتلف عن املعادالت الثالث األخرى وفرس تربيرك ن+ = ن = 25 ن 16- = 29 ن- =4 9 40( م ساألة مفتوحة: اكتب معادلة تتضمن عملية الجمع ووضح طريقتين لحلها 41( تحد : بي ن إذا كانت كل من الجملتين اآلتيتين صحيحة دائم ا أم صحيحة أحيان ا أم غير صحيحة إطالق ا: اأ( س + س = س ب( س + 0= س 42( تبرير: حدد القيمة المطلوبة في كل مما يأتي: اأ( إذا كانت س 7 = 14 فام قيمة س 2 ب ) إذا كانت ن + 8 = -12 فام قيمة ن + 1 ن = 16 48= 2 ج الحل نفسه 4( تحد: وضح لماذا يكون للمعادلتين: 2_ 44( اكتب: تأمل خاصيتي الضرب والقسمة في المساواة ثم اشرح لماذا يمكن اعتبارهما خاصية واحدة وأيهما أسهل لالستعمال في رأيك تدريب على اختبار 45( أي المسائل اللفظية اآلتية تمثلها المعادلة: ه - 15 = اأ( أضاف جاسم ( ه ) كوب ا من الماء إلى إناء به كوب ا من الماء فكم كوب ا أضاف ب( أضاف جاسم 15 كوب ا من الماء إلى إناء ليحصل على كوب ا فكم كوب ا من الماء )ه( كان في اإلناء أصال ج( أفرغ جاسم 15 كوب ا من الماء من إناء وبقي فيه كوب ا فكم كوب ا )ه( كان في اإلناء أصال د( أفرغ جاسم 15 كوب ا من الماء من إناء كان فيه كوب ا من الماء فكم كوب ا من الماء )ه( بقي في اإلناء 46( هند سة: كمية الماء الالزمة لملء بركة تمثل : اأ( حجمها ب( عمقها ج( مساحة سطحها د( محيطها مراجعة تراكمية أوجد مجموعة الحل لكل معادلة فيما يأتي إذا كانت مجموعة التعويض هي: { 2 { )الدر س 1-1 ( )47 س - 6 = 8 )48 س = 0 6 = 2 ) س + = 6 )50 س _ الدر س 2-1: حل المعادلت ذات الخطوة الواحدة 2

24 معمل الجبر حل المعادالت المتعددة الخطوات يمكنك استعمال بطاقات الجبر لتمثيل حل المعادالت المتعددة الخطوات ن ساط حل المعادلة: 4 س + = -5 مستعمل بطاقات الجبر. مث ل المعادلة اعزل البطاقات س في طرف وحدها الخطوة 2 الخطوة 1 ض ع أربع بطاقات س وثالث من بطاقات العدد 1 في طرف وخمس من بطاقات العدد سالب 1 في الطرف اآلخر بما أن هناك من بطاقات العدد 1 في الطرف الذي فيه بطاقات س لذا أضف من بطاقات العدد سالب 1 إلى كل من الطرفين للحصول على أزواج صفرية الخطوة 4 احذف األزواج الصفرية وز ع البطاقات في مجموعات الخطوة جم ع البطاقات لتكو ن أزواج ا صفرية ثم احذفها جم ع بطاقات العدد سالب 1 في 4 مجموعات متساوية لتقابل بطاقات س األربع الحظ أن كل بطاقة من س تقترن ببطاقتين من سالب 1 فيكون حل المعادلة: س = -2 التمثيل والتحليل: استعمل بطاقات الجبر لحل كل من المعادلت اآلتية: )1 س - 7 = 10- )2 2 س + 5 = 9 ) 5 س - 7 = 8 )4 7- = س + 8 )5 5 4 س + = 11- )6 س + 1 = 7 )7 11 = 2 س - 5 ) س = 11-9( ما الخطوة األولى التي تتبعها عند حل المعادلة: 8 س - 29 = 67 10( ما الخطوات التي تتبعها لحل المعادلة: 9 س + 14= الف سل 1: المعادلت الخطية

25 حل المعادالت المتعددة الخطوات لماذا فيما سبق در شت حل المعادلت ذات الخطوة الواحدة. واالآن اأحل المعادلت المتعددة الخطوات. اأحل المعادلت التي تت شمن اأعداد ا شحيحة متتالية. إذا مث ل الرمز ك المسافة بين بريدة وحائل فإن العبارة 4 ك + 6 تمثل المسافة بين بريدة ومكة المكرمة وهي 876 كيلومتر ا حل المعادالت المتعددة الخطوات: يمكنك التعبير عن الموقف أعاله بالمعادلة: 4 ك + 6 = 876 ولكون هذه المعادلة تتطلب أكثر من خطوة لحل ها لذا ت سم ى معادلة متعددة الخطوات ولحل هذه المعادلة يجب أن ن لغي عمل كل عملية بالحل عكسي ا مثال 1 المفردات المعادلة المتعددة الخطوات الأعداد ال شحيحة المتتالية نظرية الأعداد ح ل كلا من المعادلتين اآلتيتين: حل المعادالت المتعددة الخطوات obeikaneducation.com اأ( 11 س - 4 = س - 4 = 29 المعادلة األصلية 11 س = أضف 4 إلى كل الطرفين. 11 س = بس ط. _ 11 س _ = س= بس ط. اقسم كل الطرفين على = أ + _7 8 أ + _7 = 5 المعادلة األصلية 8 ب( أ + )_7 = )5(8 اضرب كل الطرفين في. 8 8 ( 8 بس ط. أ + 7 = 40 اطرح 7 من كل الطرفين أ = بس ط. ويمكنك التحقق من صحة الحل بتعويض النتيجة في المعادلة األصلية تحقق من فهمك حل كلا من المعادلتين اآلتيتين وتحقق من صحة الحل: 15 = 1 اأ( 2 أ - 6 = 4 1 ب( ن + _1 2- الدر س -1: حل المعادلت المتعددة الخطوات 25

26 مثال 2 من واقع الحياة كتابة معادلة متعددة الخطوات وحلها زي مدر سي: اشترت فاطمة زيا ا مدرسيا ا بثلثي سعره األصلي واستعملت بطاقة تعطيها خصم ا مقداره 25 ريال فأصبح ثمنه 55 ريال. فما السعر األصلي للزي اكتب معادلة تمث ل المسألة ثم حلها. 55 التعبير اللفظي ثلثا سعر الزي ناقص 25 يساوي المتغير افرض أن السعر األصلي للزي = س 55 يحقق االلتزام بالزي المدرسي أهداف ا سلوكية وتربوية مثل: التنظيم واالنضباط ومراعاة المظهر العام وإزالة الفوارق بين الطالب لصالح التحصيل العلمي المعادلة = 25 س - _2 س- = المعادلة األصلية _2 س = أضف 25 إلى كل الطرفين _2 س = 80 بس ط _2 )80 ) اضرب كل الطرفين في 2 2 = _2 _ ( 2 س( س = 120 بس ط السعر األصلي للزي = 120 رياال تحقق من فهمك 4 كتاب في عطلة نهاية األسبوع ثم قرأ 22 صفحة يوم السبت فإذا كان عدد 2( مطالعة: قرأ عبد الله _ الصفحات التي قرأها عبد الله في هذه األيام 220 صفحة فما عدد صفحات ذلك الكتاب حل م سائل تت سمن اأعداد ا سحيحة متتالية: األعداد الصحيحة المتتالية هي أعداد صحيحة مرتبة بالتتالي مثل: أو ن ن + 1 ن +2 وإذا عددت اثنين كل مرة تحصل على أعداد متتالية زوجية إذا كان العدد األول زوجي ا وفردية إذا كان العدد األول فردي ا مفهوم اأ سا سي النوع االأعداد ال سحيحة المتتالية التعبير اللفظي الرموز اأ سف اإلى مثال أعداد صحيحة متتالية أعداد صحيحة زوجية متتالية أعداد صحيحة فردية متتالية أعداد مرتبة بترتيب الع د عدد صحيح زوجي يتبعه العدد الصحيح الزوجي اآلتي عدد صحيح فردي يتبعه العدد الصحيح الفردي اآلتي ن ن+ 1 ن+ 2 ن ن+ 2 ن+ 4 حيث )ن زوجي( ن ن+ 2 ن+ 4 حيث )ن فردي( 26 الف سل 1: المعادلت الخطية

27 مثال حل م سائل تت سمن اأعداد ا سحيحة متتالية اإر سادات للدرا سة تمثيل االأعداد ال سحيحة المتتالية يمكن استعمال العبارات نفسها لتمثيل األعداد المتتالية الزوجية أو الفردية واالختالف بينهما هو في قيمة ن )فردي أو زوجي( نظرية االأعداد: اكتب معادلة للمسألة اآلتية ثم حلها: أوجد ثلثة أعداد صحيحة فردية متتالية مجموعها افرض أن العدد األصغر = ن فيكون العدد الفردي اآلتي = ن+ 2 وأكبر هذه األعداد = ن+ 4 التعبير اللفظي المعادلة مجموع ثالثة أعداد فردية متتالية يساوي = ن + )ن + )2 + )ن + )4 ن + )ن + )2 + )ن + )4 = 51- المعادلة األصلية ن + 6 = 51- بس ط -6-6 أضف -6 إلى كل من الطرفين ن = -57 بس ط _57- ن_ = ن = -19 بس ط ن + = =2 17- ن + 4 = = 15- اقسم كل الطرفين على فاألعداد الصحيحة الفردية الثالثة هي: تحقق: تحقق من فهمك هي أعداد فردية متتالية 51- = )15-( + )17-( ( اكتب معادلة للمسألة اآلتية ثم حلها : أوجد ثلثة أعداد صحيحة متتالية مجموعها. 21 تاأكد حل كلا من المعادلت اآلتية وتحقق من صحة الحل: س - _5 ) 1 م + 4 = 11- ) 2 12 = - 7 ف - 9 ) 8 = 7 ) 4 نقود: مع نايف مبلغ من المال يقل ب 175 رياال عن مثلي المبلغ الذي يملكه سعد فإذا كان مع نايف 755 رياال فاكتب معادلة تمثل هذا الموقف ثم أوجد المبلغ الذي يملكه سعد اكتب معادلة لكل من المسألتين اآلتيتين ثم ح لها: مثال 1 مثال 2 مثال ) 5 أوجد ثالثة أعداد صحيحة فردية متتالية مجموعها 75 ) 6 أوجد ثالثة أعداد صحيحة متتالية مجموعها -6 الدر س -1: حل المعادلت المتعددة الخطوات 27

28 تدرب وحل الم سائل مثال 1 حل كلا من المعادلت اآلتية وتحقق من صحة الحل: ) 7 ت + 7 = 8- ) 8 8 = ن ) 9 4- = 6 م = و _ ) 6 = ج 5- _ ) 2- ) 1 0 = ع _ ) 1 ات ساالت: تقدم شركة لالتصاالت العروض المبينة في الجدول اآلتي فإذا اختار محمد خط رجال األعمال وخصص له 100 ريال في الشهر فاكتب معادلة تمثل هذا الموقف وحدد عدد الدقائق التي يمكنه التحدث بها دون أن يتجاوز المبلغ المخصص شهري ا مثال 2 نوع اخلط شخ شي رجال اأعمال ال شرتاك ال شهري ريال ريال الدقائق املجانية تكلفة الدقيقة بعد الدقائق املجانية 0 20 ريال 0 15 ريال مثال اكتب معادلة لكل مسألة فيما يأتي ثم حلها: ) 1 4 أوجد ثالثة أعداد صحيحة زوجية متتالية مجموعها -84 ) 1 5 أوجد ثالثة أعداد صحيحة فردية متتالية مجموعها 141 ) 1 6 أوجد أربعة أعداد صحيحة متتالية مجموعها 142 حل كلا من المعادلت اآلتية وتحقق من صحة الحل: 2 ب_ + 6 = 24 ) م- =8 24 ) 1 8 = ن ) 1 9 _1 _ س = _5 2 2 ب_ ) _ 4 = _ 7 - ) 2 1 _2 _4 أ = _1 5 - ) 2 0 اكتب معادلة تمثل المسألة اآلتية ثم حلها: ) 2 أا سرة: تشك ل أعمار ثالثة إخوة أعداد ا صحيحة متتالية مجموعها 96 حل كلا من المعادلت اآلتية وتحقق من صحة الحل: أ_ = ) س- = ) ج + 9 = 14.4 ) 2 6 ) 2 7 إذا كانت 7 م = 5 فما قيمة: 11 م + 2 ) 2 8 إذا كانت - 5 ل + 6 = 69- فما قيمة : 6 ل الف سل 1: المعادلت الخطية

29 ) 2 9 مركز ريا سي: إذا كان االشتراك الشهري في مركز رياضي هو 275 رياال شامال دخول المركز وموقف ا مجاني ا للسيارة باإلضافة إلى 5 رياالت في اليوم لقاء استعمال المسبح أما غير المشتركين فيدفعون 6 رياالت يومي ا لموقف السيارة و 15 رياال لدخول المركز و 9 رياالت الستعمال المسبح اأ( اكتب معادلة إليجاد عدد الزيارات التي تتساوى عندها التكلفة الكلية لكل من: المشترك وغير المشترك إذا استعمل كالهما المسبح عند كل زيارة ثم حل هذه المعادلة السباحة رياضة مفيدة تخفض ضغط الدم والكولسترول وتقوي القلب والعضالت وتعالج آالم المفاصل ب( كو ن جدوال يبين التكلفة للمشترك ولغير المشترك بعد زيارة للمركز ج( عي ن هذه النقاط في المستوى اإلحداثي وصف ما تالحظه على هذا التمثيل البياني م سائل مهارات التفكير العليا ) 0 م ساألة مفتوحة: اكتب مسألة يمكن التعبير عنها بالمعادلة: 2 س + 40 = 60 ثم حل المعادلة ) 1 تبرير : صف الخطوات التي يمكن أن تستعملها لحل المعادلة: ه + _ 6 = 4-5 ) 2 تحد : يمكن استعمال الصيغة ق = 180 )ن -2(_ إليجاد قياس الزاوية الداخلية في مضلع منتظم حيث ن تمثل عدد أضالع المضلع ن ق قياس كل زاوية من زواياه الداخلية إذا علمت أن ق = 156 فما عدد أضالع المضلع ) اكتب : اكتب فقرة توضح ترتيب الخطوات التي يمكن أن تتبعها لحل معادلة متعددة الخطوات تدريب على اختبار ) 4 اإح ساء: يبين الجدول اآلتي درجات 5 طالب في اختبار للرياضيات: الطالب الدرجة فما مدى درجات هؤالء الطالب ج( 5 اأ( 10 د( 40 ب( 21 ) 5 مربع محيطه 20 سم ما مساحته ج( 20 سم 2 اأ( 4 سم 2 د( 25 سم 2 ب( 5 سم 2 مراجعة تراكمية حل كلا من المعادلتين اآلتيتين: )الدر س 2-1( ) 7 س - 8 = 8 ) 6 4 س = 8- ) 8 أوجد حل المعادلة: 2 س + 5 = 19 إذا كانت مجموعة التعويض هي 1{: }7 5 الدر س )1-1( الدر س -1: حل المعادلت المتعددة الخطوات 29

30 حل المعادالت التي تحتوي متغير ا في طرفيها فيما سبق در شت حل المعادلت المتعددة الخطوات. واالآن أاحل المعادلت التي تحتوي المتغير نف شه في طرفيها. أاحل المعادلت التي تحتوي اأقوا ش ا. لماذا اتفق كل من طالل وري ان على شراء هدية لوالدتهما فإذا كان لدى طالل )0( رياال في حصالته وبدأ يضيف إليها )( رياالت يومي ا بينما بدأ ري ان في اليوم نفسه بادخار )6( رياالت يومي ا لمعرفة بعد كم يوم يتساوى ما وفر كل منهما يمكننا كتابة المعادلة: س + 0 = 6 س حيث تمثل )س( عدد األيام المتغيرات في طرفي المعادلة: لحل معادلة تحتوي متغير ا في كال طرفيها استعمل خاصية الجمع أو خاصية الطرح لكتابة معادلة مكافئة تكون المتغيرات في أحد طرفيها فقط obeikaneducation.com مثال 1 حل المعادلة التي تحتوي متغير ا في كل طرفيها حل المعادلة: ك = ك - 6 وتحقق من صحة الحل. 5 ك + 2 = ك - 6 المعادلة األصلية - ك = - ك اطرح ك من كل الطرفين 2 ك + 2 = 6- بس ط اطرح 2 من كل الطرفين 2 - = 2 - بس ط 2 ك = -8 _8-2 = 2 ك_ 2 ك = -4 بس ط اقسم كل الطرفين على 2 تحقق : ك = ك - 6 المعادلة األصلية )4-(5 + 2 )4-( - 6 تعويض ك -= اضرب تحقق من فهمك 18- = 18- بس ط حل كلا من المعادلت اآلتية وتحق ق من صحة الحل: 1 اأ( ه + 2 = 7 ه 1 ب( 5 س + 2 = 6-7 س 4 س د( 1. ج =. ج _1 = ج( س _ 0 الف سل 1: المعادلت الخطية

31 االأقوا س: إذا احتوت المعادلة أقواس ا بكافة أشكالها فاستعمل خاصية التوزيع للتخلص منها مثال 2 حل معادلة تحتوي اأقوا س ا ) 24 م +.)12 _1 حل المعادلة: 5(6 م - ( = 1_ ) 24 م + 12( المعادلة األصلية 5(6 م - ) = 0 م - 18 = 8 م + 4 خاصية التوزيع 0 م م= 8 م م اطرح 8 م من كل الطرفين اإر سادات للدرا سة حل المعادلة يمكنك أن تحذف الحد الذي يتضمن متغير ا من أحد الطرفين قبل حذف الحد الثابت 22 م - 18 = 4 بس ط 22 م = أضف 18 إلى كل الطرفين بس ط 22 م = 22 _22 22 = 22 م _ 22 م = 1 بس ط اقسم كل الطرفين على 22 تحقق من فهمك حل كلا من المعادلتين اآلتيتين وتحقق من صحة الحل: 2 اأ( 8 ل - 10 = 6( - 2 ل( 2 ب( 7 )ن - )1 = (2- + ن( بعض المعادالت ليس لها حل كالمعادلة : 5 س + 5 = ) 5 س - 4( - 10 س أي ال توجد قيمة للمتغير تجعل المعادلة صحيحة وفي المقابل بعض المعادالت مثل : ) 2 ب - 1( - 7 = 6 ب -10 تكون صحيحة لجميع قيم المتغيرات وكما سبق فإن مثل هذه المعادالت تسمى متطابقات يمكن تلخيص الخطوات المتبعة في حل المعادالت كما يأتي: مفهوم اأ سا سي خطوات حل المعادلة اإلى اأ سف الخطوة 1: بس ط العبارات الموجودة في طرفي المعادلة واستعمل خاصية التوزيع إن احتجت إلى ذلك الخطوة 2: استعمل خاصية الجمع أو خاصية الطرح في المساواة للحصول على معادلة مكافئة تكون المتغيرات في أحد طرفيها واألعداد الثابتة في الطرف اآلخر ثم بس ط الخطوة : استعمل خاصية الضرب أو خاصية القسمة في المساواة لحل المعادلة وهناك مواقف كثيرة يظهر فيها المتغير في كال طرفي المعادلة الدر س 4-1: حل المعادلت التي تحتوي متغير ا في طرفيها 1

32 مثال من اختبار أوجد قيمة س التي تجعل مساحتي الشكلين اآلتيين متساويتين : اأ( ب( 4.5 ج( 6.5 د( 7 اقراأ فقرة االختبار: مساحة المستطيل األول = 10 س ومساحة المستطيل الثاني = 6 ) + س( والمعادلة هي: 10 س= ) 6 + س( حل فقرة االختبار: 10 س = 6 ( + س( ب( اأ( 10 س = 6 ( + س( )4.5 + ( 6 )4.5(10 ) + ( 6 )(10 )7.5( 6 45 )6( = بما أن القيمة 4.5 أعطتنا عبارة صحيحة فال ضرورة للتحقق من القيمتين ولذا تكون ب هي اإلجابة الصحيحة تحقق من فهمك اإر سادات للدرا سة اختر طريقة توجد أحيان ا أكثر من طريقة لحل المسألة وفي هذا المثال يمكن أن تكتب معادلة ثم تحلها أو تعوض بدائل اإلجابات في هذه المعادلة حتى تجد اإلجابة الصحيحة 4( أوجد قيمة س التي تجعل محيطي الشكلين اآلتيين متساويين: اأ( 1.5 ب( 2 ج(.2 د( 4 حل كلا من المعادلت اآلتية وتحقق من صحة الحل: _1 _5 ق + 6 _1 ق = 6 + _2 )1 1 س + 2 = 4 س + 8 )2 ) 6 )ن + )4 = 18- )4 7 = )ب + )5 تاأكد المثاالن 2 1 )5 5 2 )ن + + )1 = 2 ن )6 14 ه + 6 = 2 5( + 7 ه 4-) 2 الف سل 1: المعادلت الخطية

33 7( اختيار من متعدد: أوجد قيمة س التي تجعل محيطي الشكلين اآلتيين متساويين : مثال تدرب وحل الم سائل اأ( 4 ب( 5 ج( 6 د( 7 حل كلا من المعادلت اآلتية وتحقق من صحة الحل: )8 7 ج + 12 = - 4 ج + 78 )9 2 م - 1 = - 8 م ب_ )11 6 )ن + )5 = 66 )10 ب - 4 _ = 5 )س + )15 = 4 )12 ( م - )2 = (2 م + ) ) _4 6 14( هند سة: أوجد قيمة س التي تجعل لكل من المستطيلين المجاورين المساحة نفسها 15( نظرية االأعداد: عددان زوجيان متتاليان يقل أربعة أمثال أصغرهما عن مثلي أكبرهما بمقدار 12 فما العددان المثاالن 2 1 مثال 16( نظرية االأعداد: ثالثة أعداد صحيحة فردية متتالية يزيد مثال أصغرها على ثالثة أمثال أكبرها بمقدار 15 فما هذه األعداد حل كلا من المعادلت اآلتية وتحقق من صحة الحل: 5 ه - 2 ه + 5 ه - 7 = _12 _2 )17 2 س = 2 )س - ) )18 8 ص _ ص = _5 _ + 12 _1 ) 12 ر + )18 )20 )19 4(2 ر + )6 = _2 4 )ر + )5 )22.2 ك - 4. = 12.6 ك ) ر - )2 = _1 _1 )21 2( ع سائر: ينفق محل للعصائر 200 ريال يومي ا نفقات ثابتة باإلضافة إلى 2.5 ريال تكلفة كوب العصير فإذا بيع الكوب الواحد بمبلغ 5 رياالت فكم كوب ا يجب أن يبيع المحل يومي ا ليبدأ بتحقيق الربح 24( تمثيلت متعددة: ستكتشف في هذه المسألة حال للمعادلة: 2 س+ = 4 -س 2 اأ( بياني ا: أنشئ جدوال يحتوي على خمس نقاط لكل من المعادلتين: ص = 2 س+ 4 ص = -س 2 وعين هذه النقاط في المستوى اإلحداثي ب( جبري ا: حل المعادلة: 2 س+ 4 = - س 2 فوائد الع سير: يزود عصير الفواكه الطازجة اإلنسان بالفيتامينات والمعادن ويقيه من معظم األمراض كما يمد الجسم بعنصر الماء الهام ج( لفظي ا: وضح العالقة بين الحل الذي توص لت إليه في الفقرة )ب( مع نقطة التقاطع للتمثيلين البيانيين في الفقرة )أ( الدر س 4-1: حل المعادلت التي تحتوي متغير ا في طرفيها

34 م سائل مهارات التفكير العليا 25( تبرير: حل المعادلة اآلتية موضح ا كل خطوة من خطوات الحل: ت= 2-2 [ 2 ت 1( ت([ 26( تحد : اكتب معادلة تحتوي متغير ا في كل من طرفي إشارة المساواة بحيث يكون أحد المعامالت على األقل كسر ا ويكون حلها 6 وناقش الخطوات التي اتبعتها 27( تحد : أوجد قيمة ك التي تجعل كال من المعادلتين اآلتيتين متطابقة: اأ( ك) س - )2 = 4-6 س ب( 15 ص ك = 2 )ك ص - )1 - ص 28( اكتب: وض ح كال من أوجه الشبه واالختالف بين حل معادالت تحتوي متغيرات في كال طرفيها وحل معادالت من خطوة واحدة أو متعددة الخطوات تحتوي متغيرات في أحد طرفيها فقط تدريب على اختبار 29( بدأت طائرة شراعية الهبوط من ارتفاع 25 متر ا عن سطح األرض بمعدل ثابت مقداره 2 متر في الثانية فأي المعادالت اآلتية تبين ارتفاع الطائرة ع بعد ن ثانية اأ( ع = 25 ن + 2 ن ج( ع = 2 ن ( ما قيمة س التي تحقق المعادلة اآلتية _ س - 15 _4 س + 7 = ج( - _2 اأ( - _ د( 10- ب( - _4 ب( ع = - 25 ن + 2 د( ع = - 2 ن + 25 مراجعة تراكمية حل كلا من المعادلت اآلتية وتحقق من صحة الحل: )الدر س -( 1 )1 5 ن + 6 = 4- )2 1- = 7 + ج 6 = - 7 = 2- )4 9 + ص _ أ_ ) حل كلا من المعادلت اآلتية: )الدر س 2-1( 5 )5 س + 1 = 0 )6 س - 2 = 4 )7 2 س = 10 حل كلا من المعادلت اآلتية إذا كانت مجموعة التعويض هي }1 5{: 4 2 )الدر س 1-1( س _ )8 6 )س + )5 = 42 )9 =92 س + 11 )40 = الف سل 1: المعادلت الخطية

35 فيما سبق در شت حل المعادلت التي تحتوي متغيرات في طرفيها. واالآن اأح شب قيم عبارات تت شمن القيمة المطلقة. أاحل معادلت تت شمن القيمة المطلقة. حل المعادالت التي تت سمن القيمة المطلقة لماذا أ جري مسح لمعرفة أنواع الكتب التي يقرؤها طالب الجامعة وس مح للشخص الواحد بأن يختار أكثر من نوع من الكتب نفترض أنه يوجد في هذا المسح نسبة خطأ مقدارها وهذا يعني أنه قد يكون في هذا المسح زيادة أو نقص فعلى سبيل المثال قد تزيد نسبة الذين يقرؤون كتب الثقافة اإلسالمية إلى 69 أو قد تقل إلى 6 عبارات القيمة المطلقة: يتم حساب قيم العبارات التي تتضمن قيم ا مطلقة بتعويض قيمة المتغير فيها مثال 1 العبارات الجبرية التي تت سمن القيمة المطلقة obeikaneducation.com عوض م = 4 احسب قيمة: م إذا كانت م =.4 م = = = 10= = بس ط. = -4 تحقق من فهمك 1( احسب قيمة العبارة : 2-4- س إذا كانت س = 2 معادالت القيمة المطلقة: بالنظر إلى الفقرة الواردة في أعلى الصفحة نالحظ أن نسبة الخطأ فيها هو مثال على القيمة المطلقة فالمسافة بين 66 و 69 على خط األعداد تساوي المسافة بين 6 و 66 هناك ثالثة أنواع من الجمل الرياضية التي تتضمن قيم ا مطلقة: س = ن س < ن س > ن وسنتناول في هذا الدرس النوع األول فقط فمثال المعادلة س = 4 تعني أن المسافة بين س والصفر تساوي 4 وحدات فإذا كانت س = 4 فإن س = -4 أو س= 4 وبذلك تكون مجموعة حل هذه المعادلة هي }-4 4{ ويجب أن تأخذ كلتا الحالتين بعين االعتبار في معادالت القيمة المطلقة ولحل معادلة القيمة المطلقة افصل القيمة المطلقة في أحد جانبي إشارة المساواة أوال إذا لم تكن كذلك أصال الدر س 5-1: حل المعادلت التي تت شمن القيمة المطلقة 5

36 مفهوم اأ سا سي معادالت القيمة المطلقة التعبير اللفظي: عند حل معادالت تتضمن قيم ا مطلقة هنالك حالتان يجب أخذهما بعين االعتبار: الحالة 1: العبارة داخل رمز القيمة المطلقة موجبة أو صفر ا الحالة 2: العبارة داخل رمز القيمة المطلقة سالبة الرموز: ألي عددين حقيقيين أ ب إذا كانت أ = ب فإن أ = ب أو أ = - ب مثال: د = 10 إذن د = 10 أو د = 10- قراءة الريا سيات القيمة المطلقة تقرأ العبارة ف + 5 القيمة المطلقة للمقدار "ف زائد خمسة" اأ سف اإلى مثال 2 حل معادالت القيمة المطلقة حل كلا من المعادلتين اآلتيتين ومث ل مجموعة الحل بيانيا ا: اأ( ف + 5 = 17 ف+ 5 = 17 المعادلة األصلية الحالة 1 الحالة 2 ف + =5 17 ف + =5 17- ف = 17-5 اطرح 5 من كل الطرفين ف = ف= 12 بس ط ف = -22 ٢٥-٢٠-١٥-١٠- ٥-٠ ٥ ١٠ ١٥ ٢٠ ٢٥ ب( ب - 1 = - ب - 1 = - تعني أن المسافة بين ب و 1 تساوي - وبما أنه ال يمكن أن تكون المسافة سالبة فإن مجموعة حل هذه المعادلة هي المجموعة الخالية ϕ حل كلا من المعادلتين اآلتيتين ومث ل مجموعة الحل بيانيا ا: تحقق من فهمك 2 ب( ن - 4 = 1-2 اأ( ص + 2 = 4 ت ظهر معادالت القيمة المطلقة في المواقف الحياتية حيث تص ف المدى الذي يجب أن تقع ضمنه قيم المتغير درجة حرارة االأفاعي: األفاعي والزواحف من ذوات الدم البارد لذا تحاول االحتفاظ بدرجة حرارتها منخفضة وتقليل فاقد الماء من أجسامها حتى التموت جفاف ا أو تتوقف وظائف جسمها مثال من واقع الحياة حل معادالت القيمة المطلقة اأفاع : يجب أن تكون درجة حرارة المكان المخصص لألفاعي في حديقة الحيوان نحو º27 س بزيادة أو نقصان قدرها º2 س. أوجد درجتي الحرارة العظمى والصغرى للمكان. يمكن أن تستعمل خط األعداد لحل المسألة المسافة بين 27 و 25 تساوي 2 وحدة. المسافة بين 27 و 29 تساوي 2 وحدة. 6 الف سل 1: المعادلت الخطية مجموعة الحل هي }25 29{ أي أن درجة الحرارة العظمى º 29 س ودرجة الحرارة الصغرى º 25 س

37 تحقق من فهمك ( دواء: يجب حفظ أحد األدوية عند درجة º 8 س بزيادة أو نقصان مقدارها º س اكتب معادلة إليجاد درجتي الحرارة العظمى والصغرى اللتين يجب حفظ الدواء عندهما إذا أ عطيت نقطتان على خط األعداد يمكنك أن تكتب معادلة قيمة مطلقة تمثل المسافة بينهما مثال 4 كتابة معادلة القيمة المطلقة اكتب معادلة تتضمن قيمة مطلقة للتمثيل اآلتي: أوجد نقطة تبعد المقدار نفسه عن 11 وعن 19 هذه النقطة هي نقطة المنتصف بين 11 و 19 وتساوي 15 إذن المعادلة المطلوبة هي: س - 15 = 4 اإر سادات للدرا سة اإيجاد نقطة المنت سف إليجاد النقطة التي تقع في منتصف المسافة بين نقطتين اجمع العددين اللذين يمث النهما واقسم المجموع على 2 فمثال في المثال 4: 0 = و 0 2 = 15 لذا فإن نقطة المنتصف بين هي 15 تحقق من فهمك 4( اكتب معادلة تتضمن القيمة المطلقة للتمثيل اآلتي: المسافة بين 15 و 11 تساوي 4 وحدات المسافة بين 15 و 19 تساوي 4 وحدات تاأكد احسب قيمة كل عبارة فيما يأتي إذا كانت ف = ه =5 د = -4 : )1 - ه + 1 ) د + 9 ) ف+ د - ه حل كلا من المعادلت اآلتية ومثل مجموعة الحل بيانيا ا: )4 ن + 7 = 5 )5 ع - = 9 )6 4 ن - 1 = 6-7( ا ستثمار: تعتقد شركة أنها تربح في استثمارها ما نسبته 12 زائد أو ناقص اكتب معادلة إليجاد أكبر وأقل نسبة ربح تعتقد الشركة أنها ستحصل عليه مثال 1 مثال 2 مثال اكتب معادلة تتضمن القيمة المطلقة لكل من التمثيلين اآلتيين: )9 )8 مثال 4 الدر س 5-1: حل المعادلت التي تت شمن القيمة المطلقة 7

38 تدرب وحل الم سائل احسب قيمة كل عبارة فيما يأتي إذا كانت أ= -2 ب= - ج = 2 س= 2.1 ص = ع = -4.2 : )10 4 أ - ب + 2 ج )11-5 أ + ج + ص + 2 ع مثال 1 )12 ص - 2 ع - )1 ب - 8 ج - )14 2 س - ع + 6 ب )15 4- ج ع - أ حل كلا من المعادلت اآلتية ومث ل مجموعة الحل بيانيا ا: )16 ن - = 5 )17 ف + 10 = 1 )18 ه - 2 = 5- مثال 2 2 س + 5 = - )21-2 ص + 6 = 6 )19 4 ق - 8 = 20 )20 _1 22( درا سة م سحية: يبين التمثيل بالقطاعات الدائرية المجاور نتائج دراسة مسحية وج ه فيها السؤال اآلتي إلى عدد من الشباب: "ما إمكانية أن تصبح ثري ا يوم ا ما " فإذا كانت نسبة الخطأ في هذا المسح ± 4 فما مدى النسبة المئوية للشباب الذين أجابوا بأن إمكانية أن يصبحوا أثرياء كبيرة جد ا مثال 2( حوار: يعطى المتكلم في برنامج حواري متلفز فرصة الحديث لمدة دقيقتين مع فارق 5 ثوان اأ( أوجد أطول وأقصر مدة ممكنة للحديث بالدقائق وبالثواني ب( أوجد أطول وأقصر مدة ممكنة للحديث بالثواني اكتب معادلة تتضمن القيمة المطلقة لكل من التمثيلين اآلتيين: )25 )24 أاهمية الحوار: للحوار قيمة حضارية وإنسانية في حياتنا وممارساتنا التربوية واألسرية للتعرف على آراء اآلخرين والتواصل معهم وقد حثنا القرآن الكريم والسنة النبوية على الحوار الهادف لصالح الفرد والمجتمع مثال 4 حل كلا من المعادلت اآلتية ومث ل مجموعة الحل بيانيا ا: 2 ب 2- = 10 )27 - د + 6 = 12 _1 - )26 ) ق = 10 )29 5 ف - = 12 8 الف سل 1: المعادلت الخطية

39 0( م سمار: مضمار سباق التتابع هو سباق يتناوب فيه 4 عد ائين الجري مسافة 400 متر أو دورة واحدة لكل منهم حول المضمار اأ( إذا أنهى العد اء األول دورته في 52 ثانية زائد أو ناقص 2 ثانية فاكتب معادلة إليجاد أسرع وأبطأ زمن له ب( إذا أنهى العد اء الثاني دورته في 5 ثانية زائد أو ناقص ثانية واحدة فاكتب معادلة إليجاد أسرع وأبطأ زمن له 1( سيارات: تتأثر دقة مقياس سرعة السيارة بعدة عوامل منها قطر اإلطارات فإذا كان الفارق عن القراءة الدقيقة عند السرعة 50 كلم/س هو كلم/س اأ( ما مدى السرعة الحقيقية عندما تكون السرعة 50 كلم/س ب( إذا علمت أنه عندما تكون السرعة 45 كلم/س يصبح فارق السرعة 1 كلم/س فقط فماذا تستنتج اكتب معادلة تتضمن قيمة مطلقة لكل من التمثيلت اآلتية: )2 ) )4 بلغ عدد زوار مكتبة الملك عبد العزيز العامة بالرياض عام 140 ه نحو 650 ألف زائر أي بمعدل 1800 زائر يومي ا 5( سوتيات: يوجد في أحد المدرجات حوالي شخص بفارق اليجاوز ألف شخص أكثر أو أقل يمكنهم سماع األصوات الطبيعية بوضوح اأ( اكتب معادلة تتضمن القيمة المطلقة لتمثل الحد األقصى لعدد األشخاص الذين يمكنهم أن يسمعوا األصوات الطبيعية في هذا المدرج بوضوح ( افرض أن ن = عدد األشخاص الذين يمكنهم سماع األصوات بوضوح( ب( ما مدى عدد األشخاص في الفقرة أ 6( قراءة: اتفق طالب الثالث المتوسط في مدرسة على قراءة فصل من كتاب ينتهي عند الصفحة 20 مع زيادة أو نقص عشر صفحات اأ( اكتب معادلة القيمة المطلقة التي تمثل أرقام الصفحات التي يمكن أن يتوقف عندها الطالب عن القراءة ب( اكتب مدى الصفحات التي يمكن أن يتوقف عندها الطالب عن القراءة الدر س 5-1: حل المعادلت التي تت شمن القيمة المطلقة 9

40 م سائل مهارات التفكير العليا 7( م ساألة مفتوحة: صف موقف ا من واقع الحياة يمكن تمثيله بالمعادلة: س- 4 = 10 تبرير: مفترض ا أن ج عدد ا صحيح ا حدد إذا كانت كل من العبارات اآلتية صحيحة أحيان ا أو صحيحة دائم ا أو غير صحيحة أبد ا وفسر تبريرك: 8( قيمة س+ 1 أكبر من الصفر 9( حل المعادلة: ج + س = 0 عدد أكبر من الصفر 40( ليس للمتباينة: س + ج < 0 حال 41( تبرير: لماذا ال يمكن أن تكون القيمة المطلقة سالبة 42( اكت سف الخطاأ: حل كل من علي وعبد الرحمن المعادلة: س + 5 = - كما هو موضح أدناه فأيهما إجابته صحيحة ولماذا علي عبد لرحمن س + 5 = - لي س لها حل س + 5 = - أو س + 5 = س + 5 = - س + 5 = س = 8- س = 2-4( اكتب: وض ح لماذا يمكن أن يكون لمعادلة القيمة المطلقة حالن أو حل واحد أو ال يكون لها حل وأعط مثاال على كل حالة تدريب على اختبار 44( هند سة: ما محيط الدائرة التي مساحتها 25 ط سنتمتر ا مربع ا 45( أي المعادالت التالية يمثل الخطوة الثانية في عملية الحل الموضحة الخطوة (4 :1 2 س + 7 ) 6- = س الخطوة 2: الخطوة 5 س : = 0 الخطوة 5 س :4 = 22- الخطوة :5 س = اأ( 2(4 س- 6 ( + 7 = س ج( 8 س = س ب( 2(4 س+ 1 ( = س د( 8 س = س ج( 50 ط سم اأ( 5 ط سم د( 625 ط سم ب( 10 ط سم مراجعة تراكمية حل كلا من المعادلتين اآلتيتين: )الدر س -4( 1 )46 2 س 1+ = 8 س )47 4 ( م + ) = 2- ( 1 + م ) )48 حل المعادلة 2 س + 1 = 9 )الدر س )-1 )49 حل المعادلة + 6 س= 0 )الدر س ) الف سل 1: المعادلت الخطية

41 اختبار الف سل 15( اأ سماك: متوسط طول السمكة ذات النطاق األصفر يساوي 12 بوصة وهذا يساوي متوسط طول السمكة الذهبية مضروب ا في 4.8 اأ( اكتب معادلة يمكن استعمالها إليجاد متوسط طول السمكة الذهبية ب( ما متوسط طول السمكة الذهبية 1( حل المعادلة س -9 =12 إذا كانت مجموعة التعويض هي س=} 1.} هو : 5 أ = _1 2( اختيار من متعدد: حل المعادلة _ ج( 2 2 _ اأ( _5 د( - 12 ب( حل كلا من المعادلت اآلتية وتحقق من صحة الحل: ) م+ = 8 1 )4 26- = ب- = 6 ت_ )5 حل كلا من المعادلت اآلتية وتحقق من صحة الحل: 8 = - 6 ت_ )6 )7 2 س+ = 5 1 )8 = ص حل كلا من المعادلتين اآلتيتين وتحقق من صحة الحل: )9 8 ل + = 5 ل ه 4 ه + 6 = 9 - _1 _ )10 حل كلا من المعادلتين اآلتيتين ثم مثل مجموعة الحل بيانيا ا: )11 س = 0 )12 2 س + 5 = 9 16( اختيار من متعدد: ما حل المعادلة: 6 أ - = 9 اأ( { }2 ج( { - }6 ب( 1-{ }2 د( { - } 17( قهوة: ي قال إنه لكي تشرب فنجان ا ممتاز ا من القهوة يجب غليها عند درجة حرارة º 200 ف زائد أو ناقص 5 درجات اكتب معادلة تمثل درجتي الحرارة العظمى والصغرى لغلي فنجان ممتاز من القهوة ثم حل المعادلة 18( اختيار من متعدد: أي المعادالت اآلتية تمثل متطابقة اأ( ل + = ل + 1 ب( 2 ل + = 2 ل + 1 ج( 4 ل 1- = 4 ل + 1 د( ل = 5 ل ( هند سة: أوجد قيمة س التي تجعل لكل من الشكلين اآلتيين المحيط نفسه: أوجد قيمة كل من العبارتين اآلتيتين إذا كانت س = 4- ص = 7 ع= :9-1( -2 ص + 2 س 14( - 4 ص+ 2 ع - ع الف سل 1: اختبار الف شل 41

42 الدوال الخطية فيما سبق در شت حل المعادلت الخطية جبري ا. واالآن أامثل العالقات والدوال. اأميز المعادلة الخطية, واأ حدد مقطعيها ال شيني وال شادي. أامثل المعادلت الخطية بياني ا واأكتبها. ا شتعمل معدل التغير لحل الم شائل. أاتعرف المتتابعات الح شابية كدوال خطية. لماذا متنزهات: يعد متنزه الحبلة في منطقة ع شير من اأهم مناطق الجذب ال شياحي في بالدنا. ويزداد عدد زواره شنوي ا ب شورة ثابتة تقريب ا, ويمكن تمثيل ذلك بدالة خطية ت شف معدل تغير عدد الزوار بالن شبة للزمن. 1 اطو كل ورقة إلى نصفين من األعلى إلى األسفل منظم اأفكار 2 ق س عند خط الطي وثبت األنصاف الثمانية مع ا لتشكل كتيب ا الدوال الخطية اعمل هذه المطوية لتساعدك على تنظيم مالحظاتك حول الدوال الخطية مبتدئ ا بأربع أوراق مربعات ق س هامش ا طولي ا من الطرف الحر لألوراق بعرض سطرين مبتدئ ا بالورقة األخيرة ثم التي تسبقها وهكذا سم 4 غالف المطوية بعنوان الفصل ثم رق م الصفحات بتسلسل الدروس: وخصص الصفحة األخيرة للمفردات الجديدة الف سل 2: 2: الدوال الخطية

43 التهيئة س س للف سل للف سللل 2 س سخي س ت سخي س اال ستعداد: هناك بديالن للتأكد من فهمك للمهارات السابقة الضرورية : االأول البديل أجب عن االختبار اآلتي انظر المراجعة السريعة قبل اإلجابة عن االختبار مراجعة سريعة اختبار سريع مث ل كل زوج مرتب مما يأتي في المستوى اإلحداثي: مثل النقطة ) -2( في المستوى اإلحداثي: )6 0( ) )0 ( )2 )1 2-( )1 اكتب الزوج المرتب الذي يمثل كل نقطة فيما يأتي: مثال 1 4( أ 5( ب 6( ج 7( د مثال 2 حل المعادلة: س = 9. س = 9 المعادلة األصلية _1 1_ 9 اضرب كل الطرفين بالعدد _1 س = س = بسط مثال حل كلا من المعادلت اآلتية : إذا كانت أ = ب = 5 ج = 2- د =.6- أ - ب _ احسب ج - د العبارة األصلية أ - ب _ ج- د 5_ - عوض قيم أ ب ج د = )6-( _ بسط 4 = اقسم 2-4 على ق.م.أ. لهما ويساوي 2 2- _2 2 4 = بسط بما أن اإلشارتين مختلفتان لذا فناتج القسمة سالب _ 1 _1- أو = )8 2 س = 8 )9 س + 1 = 6 س = 1 _1 )10 س - 1 = 5 )11 )12 2 س + 4 = 0 )1 س + 2 = 2 س أوجد قيمة لكل مجموعة من القيم اآلتية: أ - ب _ ج - د )14 أ = 7 ب = 6 ج = 9 د = 5 )15 أ = - ب = 0 ج = د = 1- )16 أ = 5- ب = 5- ج = 5 د = 8 )17 أ = 6- ب = ج = 8 د = 2 البديل الثاني أسئلة تهيئة إضافية على الموقع الف سل 2: التهيئة للف شل 4 2

44 فيما سبق در شت حل المعادلت بمتغير اأو بمتغيرين. واالآن أامثل العالقات. أاف شر التمثيل البياني للعالقات. المفردات النظام الإحداثي المحور ص المحور ص نقطة الأ شل الزوج المرتب الإحداثي ال شيني الإحداثي ال شادي العالقة المخطط ال شهمي المجال المدى المتغير الم شتقل المتغير التابع العلقات لماذا كلما تعمقت في المحيط زاد الضغط على الجسم لكثرة الماء من فوقك فجاذبية األرض تجذب الماء إلى األسفل مما يسبب ضغط ا أكبر والمعادلة ض= ث ت ع تربط ضغط الماء الكلي بالعمق علم ا بأن: ض= الضغط ث= كثافة الماء ت= تسارع الجاذبية األرضية ع= عمق الماء )علم ا بأن ث ت ثوابت( تمثيل العلقة: يمكن تمثيل العالقة التي تربط بين العمق والضغط الناتج بخط مستقيم في مستوى إحداثي النظام اإلحداثي يتكون من تقاطع خط ي أعداد هما: المحور األفقي والمحور الرأسي ت مثل النقط على المستوى اإلحداثي باستعمال األزواج المرتبة obeikaneducation.com الزوج المرتب عددان يكتبان على الصورة )س ص( ت سمى قيمة س باإلحداثي الس يني وتمثل المسقط األفقي للنقطة تسمى قيمة ص باإلحداثي الص ادي وتمثل المسقط الرأسي للنقطة ت سمى مجموعة األزواج المرتبة علقة ويمكن وصف هذه العالقة بعدة طرائق: أزواج مرتبة تمثيل بياني جدول مخطط سهمي ويوضح المخطط السهمي كيف ترتبط عناصر المجال بالمدى ويطلق على مجموعة األعداد األولى في األزواج المرتبة المجال وعلى مجموعة األعداد الثانية المدى والمخطط السهمي المجاور يمثل األزواج المرتبة: )8 2( )8 1( )6 0( )4 1-( )4 2-( 44 الف سل 2: الدوال الخطية

45 ادرس التمثيالت اآلتية التي تمثل العالقة نفسها: أزواج مرتبة جدول تمثيل بياني مخطط سهمي )2 1( )4 2-( )- 0( س س اإر سادات للدرا سة التمثيلت المتعددة: يخدم كل تمثيل للعالقة الواحدة غرض ا مختلف ا فالتمثيل البياني يبين النمط بين النقاط ونستدل من المخطط السهمي على ارتباط عدة عناصر بالعنصر نفسه بما أن قيم س في العالقة هي عناصر المجال وقيم ص هي عناصر المدى فإن المجال في العالقة أعاله هو: 2-{ }1 0 والمدى هو: -{ }4 2 مثال 1 تمثيلت العلقة اإر سادات للدرا سة اأ( مثل العلقة 2({ )5 2-( ) 5( )2-1-( })2- بجدول وبيانيا ا وبمخطط سهمي. س س الجدول: 5 2 اكتب اإلحداثي السيني في العمود األول من الجدول واإلحداثي الصادي في العمود الثاني منه العنا سر المكررة: عند تمثيل العالقة بجدول تكتب العناصر المكررة في المجال أو المدى وال تكتب مكررة عند التمثيل بالمخطط السهمي التمثيل البياني ارسم كل زوج مرتب في المستوى اإلحداثي المخطط السهمي ضع قائمة لقيم س في المجال وقيم ص في المدى وارسم أسهم ا من قيم س في المجال إلى قيم ص التي تقابلها في المدى ب( حدد كلا من مجال العلقة ومداها. المجال هو:} 2-1- }5 2 والمدى هو:} 2- } 5 تحقق من فهمك 1 اأ( مث ل العالقة 4({ )- ( )2 4-( )1 0( })- بجدول وبياني ا وبالمخطط السهمي 1 ب( حدد كال من: المجال والمدى الدر س 1-2: العالقات 45

46 يسمى المتغير الذي يحدد قيم مخرجات العالقة المتغير المستقل أما المتغير الذي تعتمد قيمته على قيم المتغير المستقل فيسمى المتغير التابع مثال 2 من واقع الحياة المتغيرات الم ستقلة والمتغيرات التابعة مهرجان الجنادرية: مهرجان الجنادرية مهرجان تراثي وثقافي كبير يقام في المملكة العربية السعودية سنوي ا منذ عام 1405 ه ويجمع بين الماضي والحاضر ويجذب العديد من الزوار حد د كلا من المتغير المستقل والمتغير التابع لكل علقة فيما يأتي: اأ( مبيعات: في مهرجان الجنادرية يبيع أحد األجنحة صور ا تذكارية. وكلما زادت المبيعات زاد الدخل. عدد الصور متغير مستقل ألنه ال يتأثر بالدخل الذي يحققه الجناح أما الدخل فيكون متغير ا تابع ا ألن مقداره يعتمد على عدد الصور المبيعة ب( اأجهزة كهربائية: ازداد معدل أسعار األجهزة الكهربائية بصورة ثابتة مع مرور الزمن. الزمن متغير مستقل ألنه ال يتأثر بأسعار األجهزة الكهربائية وأسعار األجهزة متغير تابع ألنه يتأثر بالزمن تحقق من فهمك حد د كلا من المتغير المستقل والمتغير التابع لكل علقة فيما يأتي: 2 اأ( يزداد ضغط الهواء داخل إطار السيارة مع ازدياد درجة الحرارة 2 ب( كلما قلت كمية المطر انخفض مستوى سطح الماء في النهر التمثيل البياني للعلقات: يمكن تمثيل العالقة دون تدريج المحورين وتفسر هذه التمثيالت من خالل تحليل أشكالها مثال تحليل التمثيلت البيانية يوضح التمثيل البياني المجاور المسافة التي قطعها سعد بدراجته الهوائية صف هذا التمثيل. تزداد المسافة بازدياد الزمن حتى يصبح الخط أفقي ا ثم يزداد الزمن مع بقاء المسافة ثابتة مما يعني أن سعد ا قد توقف في هذه المرحلة ثم تابع ركوب الدراجة تحقق من فهمك صف التمثيل البياني في كل مما يأتي: ب( اأ( 46 الف سل 2: الدوال الخطية

47 تاأكد مثل كل علقة فيما يأتي بجدول وبيانيا ا وبمخطط سهمي ثم حدد كلا من مجالها ومداها: }) 2-( )5-0( )4 1-( )7-5({ )2 })6-5( )2 2-( ) 4({ )1 حدد كلا من المتغير المستقل والمتغير التابع لكل علقة فيما يأتي: ( زيادة درجة حرارة م رك ب داخل وعاء محكم اإلغالق يزيد من الضغط داخل الوعاء 4( يشتري جمال بطاقات له وألصدقائه لدخول حديقة الحيوان وكلما اشترى بطاقات أكثر كان المبلغ المدفوع أكبر 5( يجري محل تجاري تنزيالت على سلعة وكلما ازدادت المبيعات كان ربحه أكثر صف كلا من التمثيلين البيانيين اآلتيين: 6( يوضح التمثيل البياين أدناه مبيعات رشكة عرب اإلنرتنت 7( يوضح التمثيل البياين أدناه املسافة التي قطعها يارس أثناء اجلري مثال 1 مثال 2 مثال تدرب وحل الم سائل مث ل كل علقة فيما يأتي بجدول وبيانيا ا وبمخطط سهمي ثم حدد كلا من مجالها ومداها: })2-0( )2- ( )6 5( )2 5({ )9 })1 1-( )4 6( )2 -( )0 0({ )8 })5 1( )2-2( )2-7( ) 1( )- 4({ )11 })7- -( )8-1-( )6- ( ) 1-({ )10 حدد كلا من المتغير المستقل والمتغير التابع لكل علقة فيما يأتي: 12( أقام النادي المدرسي غداء مشترك ا إذ يحضر كل عضو طبق طعام أو حلوى وكلما ازداد عدد المشاركين زادت كمية الطعام 1( إذا قاد محمد سيارته بصورة أسرع فإنه يستغرق وقت ا أطول للوقوف التام صف كل تمثيل بياني فيما يأتي: 14( يوضح التمثيل البياني أدناه مبيعات محل لألدوات الرياضية 15( يوضح التمثيل البياني أدناه قيمة لوحة فنية نادرة 16( يوضح التمثيل البياني أدناه المسافة التي قطعتها سيارة مثال 1 مثال 2 مثال الدر س 1-2: العالقات 47

48 استعمل التمثيل البياني المجاور لإلجابة عن األسئلة من 17-19: 17( اكتب إحداثيات الزوج المرتب عند النقطة أ وبين ماذا يمثل 18( اكتبإحداثياتالزوجالمرتبعندالنقطةب وبينماذايمثل 19( عي ن كال من المتغير المستقل والمتغير التابع في هذه العالقة استعمل التمثيل البياني المجاور لإلجابة عن األسئلة من : 20( اكتب إحداثيات الزوج المرتب عند النقطة ج وبين ماذا يمثل 21( اكتب إحداثيات الزوج المرتب عند النقطة د وبين ماذا يمثل 22( عي ن كال من المتغير المستقل والمتغير التابع في هذه العالقة مثل كل علقة فيما يأتي على صورة مجموعة من األزواج المرتبة وحدد كلا من مجالها ومداها: اأ سعار ال سمك الوزن )كجم( ال سعر )بالريال( ) )2 تعد األسماك الغذاء الرئيس ألكثر من بليون ونصف بليون إنسان في مختلف أنحاء العالم مثل كل علقة فيما يأتي بمجموعة أزواج مرتبة: )27 )26 س س )25 48 الف سل 2: الدوال الخطية

49 28( ريا سة تناف سية: بناء على المعلومات المكتوبة إلى اليمين أي التمثيالت اآلتية هي أفضل تمثيل للسباق التنافسي الثالثي ولماذا التمثيل أ التمثيل ب التمثيل ج الرياضة الثالثية رياضة تنافسية تتكون من مراحل: السباحة لمسافة 2.4 ميل وقيادة الدراجة الهوائية لمسافة 112 ميال ثم الجري لمسافة 26.2 ميال ويتضمن الزمن الكلي وقت االنتقال من مرحلة إلى أخرى مثل كل موقف فيما يأتي بيانيا ا : تنخفض قيمة سيارة بصورة كبيرة في السنوات القليلة األولى إلنتاجها سيارة: 29( 0( ريا سة: يتنقل رياضي بين الجري والمشي خالل التدريب 1( علم االأحياء: يحتوي جسم الشخص البالغ على 2 كيلوجرام ماء تقريب ا لكل كيلوجرامات من كتلة ( حيث تمثل )و( كتلة الماء في الجسم وتمثل )ج( جسمه ويمكن تمثيل ذلك بالمعادلة و= ( 2 ج _ كتلة الجسم اأ( كو ن جدوال يوضح العالقة بين كتلة الجسم وكتلة الماء ألشخاص كتلهم: كيلوجرام ا مقرب ا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروري ا ب( حد د كال من المتغير المستقل والمتغير التابع في هذه العالقة ج( حد د كال من المجال والمدى ثم مثل العالقة بياني ا م سائل مهارات التفكير العليا تدريب على اختبار 2( م ساألة مفتوحة: صف موقف ا من واقع الحياة يمكن تمثيله بعالقة وبي ن كيف تعتمد إحدى الكميتين في العالقة على األخرى ثم مثل هذه العالقة بثالث طرائق مختلفة ( تحد : صف موقف ا من واقع الحياة يحتوي على عدد سالب في المجال أو في المدى 4( اكتب: استعمل البيانات حول ضغط الماء الواردة في بداية الدرس لتوضيح الفرق بين المتغيرات المستقلة والتابعة 5( أي العبارات اآلتية تكافئ العبارة : 6)- ج(+ 2)11- ج( اأ( 2)20- ج( ب( 8)14- ج( ج( 8)5- ج( د( 40- ج مراجعة تراكمية الدر س 1-2: العالقات 49 حل كل معادلة فيما يأتي إذا كانت مجموعة التعويض { 1 :}5 4 2 )الدر س -1 )1 )6 6 )س + =)5 42 )7 15 = س + 11 )8 =17 و _ )9 حل المعادلة: س - = )الدر س )5-1 40( حل المعادلة س = 6 س - 6 )الدر س 4-1 (

50 فيما سبق در شت العالقات وتمثيلها وتف شيرها. واالآن اأحدد اإذا كانت العالقة دالة اأم ل. أاجد قيم دالة. المفردات الدالة الدالة المنف شلة الدالة المت شلة اختبار الخط الراأ شي الدالة غير الخطية الدوال لماذا يطلق على المسافة التي تقطعها سيارة للوقوف التام عند استعمال المكابح مسافة التوقف وكلما كانت السيارة أسرع كانت مسافة التوقف أطول وتمثل مسافة التوقف دالة لسرعة السيارة تحديد الدوال: الدالة عالقة تربط المدخالت بالمخرجات على أن يكون هناك مخرجة واحدة فقط لكل مدخلة مفهوم اأ سا سي التعبير اللفظي: الدالة الدالة هي عالقة تربط كل عنصر في مجالها بعنصر واحد فقط من المدى اأمثلة: اإلى اأ سف obeikaneducation.com مثال 1 تحديد الدوال هل تمث ل كل علقة فيما يأتي دالة أم ل فس ر ذلك. اأ( كل عنصر في المجال يرتبط بعنصر واحد فقط من المدى لذا فإن هذا المخطط السهمي يمثل دالة وال يؤثر ارتباط أكثر من عنصر في المجال بعنصر واحد من المدى ب( المجال المدى ارتبط العنصر 1 في المجال بالعنصرين 4-4 في المدى لذا فإنه يوجد أكثر من قيمة ممكنة ل ص عندما س = 1 وبالتالي فإن هذه العالقة ليست دالة تحقق من فهمك 1( هل تشكل العالقة اآلتية دالة فسر ذلك })2-2( )1 ( )2- ( )1 2({ 50 الف سل 2: الدوال الخطية

51 تسمى الدالة التي ت مثل بياني ا بنقاط غير متصلة دالة منفصلة أما الدالة التي ت مث ل بخط أو منحنى دون انقطاع فت سمى دالة متصلة مثال 2 التمثيل البياني البناء فوق الرمال: في مسابقة لبناء القلع فوق رمال الشاطئ بلغ عدد القلع التي بناها كل فريق على النحو اآلتي: الفريق األول: 4 قلع الفريق الثاني: 5 قلع الفريق الثالث: قلع الفريق الرابع: 6 قلع الفريق الخامس: 4 قلع. اأ ) كو ن جدول للقيم التي تظهر العلقة بين رقم الفريق وعدد قلعه. الفريق عدد القلع تنظم مسابقات في بناء القالع فوق رمال الشاطئ يشارك فيها الكبار والصغار وتتكون هذه القالع عادة من أشكال هندسية مختلفة ب ) حد د كلا من مجال الدالة ومداها: مجال الدالة هو: }1 5 { 4 2 ألن هذه المجموعة تمثل قيم المتغير المستقل الذي ال يتأثر بعدد القالع مدى الدالة هو: }4 4 { 6 5 ألن هذه المجموعة تمثل قيم المتغير التابع وتعتمد هذه القيم على رقم الفريق ج( اكتب البيانات على صورة أزواج مرتبة ثم مثلها بيانيا ا. بناء على الجدول وبما أن رقم الفريق متغير مستقل وعدد القالع متغير تابع لذا فاألزواج المرتبة هي: 1( )4 2( )5 ( ) 4( )6 5( )4 وبما أن أرقام الفرق وعدد قالعهم المناظرة لها ال يمكن أن تأخذ قيم ا بين النقط المعطاة لذا يجب عدم وصل هذه النقاط د( بين إذا كانت الدالة منفصلة أم متصلة وفس ر إجابتك. بما أنه ال يمكن وصل هذه النقاط فالدالة منفصلة تحقق من فهمك 2( يتسع وعاء ل كجم من الحبوب وكتلته وهو فارغ 1. كجم وكتلته وهو ممتلئ 4. كجم اأ( كو ن جدوال يبين كتلة الوعاء عندما يحتوي على: كيلوجرامات من الحبوب على الترتيب ب( حد د كال من: مجال الدالة ومداها ج( اكتب البيانات على صورة أزواج مرتبة ثم مثلها بياني ا د ) بين إذا كانت الدالة منفصلة أم متصلة وفس ر ذلك الدر س 2-2: الدوال 51

52 دالة يمكنك استعمال اختبار الخط الرأسي لتتحقق إذا كان التمثيل البياني يمثل دالة أم ال فإذا قطع الخط الرأسي التمثيل البياني في أكثر من نقطة فإنه ال يمثل دالة وإال فالعالقة دالة ليست دالة دالة تذكر أن المعادلة هي تمثيل للعالقة فإذا كانت العالقة دالة فإن المعادلة تمثل دالة مثال المعادالت كدوال هل تمث ل المعادلة: - س+ ص= 8 دالة كو ن جدوال للقيم ثم مثل المعادلة س س اإر سادات للدرا سة اختبار الخط الراأ سي إحدى طرائق إجراء اختبار الخط الرأسي هي استعمال قلم الرصاص ضع قلمك رأسي ا على الرسم وتحرك لألعلى ولألسفل فإذا قطع القلم التمثيل البياني في نقطة واحدة فقط فالتمثيل البياني يمثل دالة يشك ل التمثيل البياني خط ا مستقيم ا وللتحقق من ذلك استعمل اختبار الخط الرأسي إن الخط الرأسي لجميع قيم س يمر بنقطة واحدة فقط على التمثيل البياني لذا فإن المعادلة تمثل دالة تحقق من فهمك هل تمثل كل معادلة فيما يأتي دالة اأ( 4 س= ب( 8 4 س= ص+ 8 يمكن تمثيل الدالة بطرائق مختلفة ملخ س المفهوم الجدول المخطط ال سهمي طرائق تمثيل الدالة المعادلة التمثيل البياني اأ سف اإلى س س د )س(= 2 س الف سل 2: الدوال الخطية

53 اإيجاد قيم دالة: يمكن كتابة المعادالت التي هي دوال باستعمال رمز الدالة فمثال : ص = س- 8 رمز الدالة المعادلة د)س( = س - 8 ص = س - 8 تمثل قيم س في الدالة عناصر المجال وتمثل قيم د )س( عناصر المدى فمثال د) 5 ( وت قرأ "دال 5" تمثل قيمة الدالة عندما س = 5 ويتم إيجادها بتعويض 5 بدال من س في الدالة مثال 4 اإر سادات للدرا سة اإ سارة الدالة يشار إلى الدالة بالرمز د )س( ويقرأ دال سين ويمكن استعمال حروف أخرى مثل ج أو ه للتعبير عن الدالة قيم الدالة أوجد القيم اآلتية للدالة: د)س( = - 4 س + 7. اأ( د) 2 ( س= 2 د) 2 ( = )2( اضرب = اجمع = 1- ب( د)- ( + 1 س= - د)- ( + =1 )-(4-[ + 7 ] + 1 بس ط = اجمع = 20 تحقق من فهمك أوجد القيم اآلتية للدالة: د)س( = 2 س-. 4 اأ( د) 1 ( 4 ب( 6- د) 5 ( 4 ج( د)- 1 ( + د) 2 ( الدالة التي يختلف أس متغيرها عن العدد 1 ت سمى دالة غير خطية وتمثيلها البياني ليس خط ا مستقيم ا مثال 5 قيم الدالة غير الخطية إذا كان: ه)ت(= - 16 ت ت + 2 فأوجد كل قيمة مما يأتي: اأ( ه) 4 ( استبدل ت ب 4 ه) 4 ( = 4(16- ) 2 + )4( اضرب = اجمع = 18 ب( 2 ]ه)ج([ 2 ]ه)ج([ = 16-[2 )ج ) )ج( + 2[ استبدل ت ب ج = 16-[2 ج ج+ ] 2 بس ط خاصية التوزيع = - 2 ج ج+ 4 تحقق من فهمك إذا كان د)ت(= 2 ت فأوجد كل قيمة مما يأتي: 5 اأ( د) 4 ( 5 ب( ] د)ت([ ج( د)- (- د) 1 ( الدر س 2-2: الدوال 5

54 تاأكد المثاالن 1 هل تمث ل كل علقة فيما يأتي دالة أم ل فس ر إجابتك. المجال المدى )2 )1 2 س - 6 ) 2({ )2 1-( )5 5( )2 2( })4- )4 ص = _1 )6 )5 7( مدار س: يبين الجدول اآلتي العدد الكلي للطالب الملتحقين بالمدارس الحكومية في المملكة العربية السعودية مقرب ا ألقرب ألف: مثال ه ه ه ه 4557 ال سنة الدرا سية الملتحقون )باالآالف( اأ( اكتب بيانات الجدول على صورة أزواج مرتبة بدء ا من العام الدراسي 1425 ه ب( مثل العالقة التي تربط السنوات بعدد الملتحقين بالمدارس بياني ا ج( ما مجال هذه العالقة وما مداها إذا كان د )س( = 6 س+ 7 ه )س( = س فأوجد قيمة كل مما يأتي: )8 د)- ( )9 د)م( )10 د)ر- )2 المثاالن ( ه )5( 12( ه )أ( 1( ه )- 4 ت( 14( د)ك+ 1( 15( د) 2 (+ ه )-2( 16( ه )-ب( 54 الف سل 2: الدوال الخطية

55 تدرب وحل الم سائل مثال 1 هل تمثل كل علقة فيما يأتي دالة أم ل فس ر إجابتك. 19( المدى المجال )18 )17 20( عقار: يبين الجدول المجاور متوسط سعر شقة في أحد أحياء مدينة الرياض من عام 1426 إلى 1428 ه اأ( اكتب بيانات الجدول على صورة أزواج مرتبة ال سنة 1426 ه 1427 ه 1428 ه ال سعر بالريال مثال 2 ب( مث ل العالقة بين السنة والسعر بياني ا ج( ما مجال هذه البيانات وما مداها مثال هل تمثل كل علقة فيما يأتي دالة })7 4( )5 2-( )2- ( )5 4({ )22 })1-0( )1-8-( )7-6( )7-5({ )21 )2 ص = 8- )24 س = 15 )25 ص = س - 2 )26 ص = س + 2 ص المثاالن 5 4 إذا كان د)س( = - 2 س- ه )س( = س س فأوجد قيمة كل مما يأتي: )27 د)- 1 ( )28 د) 6 ( )29 ه )2( )0 ه )- 6 م( )1 د)ر+ )2 )2 [ ه )ن([ ( تربية وتعليم: مث ل معلم معدل درجات طالبه في اختبار الرياضيات د)ت( بداللة درجاتهم في اختبار العلوم ت بالدالة: د)ت(= 0.9 ت + 10 اأ( مث ل هذه الدالة بياني ا ب( ما درجة العلوم المناظرة لدرجة الرياضيات 100 ج( ما مجال هذه الدالة وما مداها الدر س 2-2: الدوال 55

56 4( اأمن: يتقاضى حارس أمن مبلغ 12.5 رياال عن كل ساعة عمل اأ( اكتب عبارة جبرية تبين ما يتقاضاه الحارس لقاء س ساعة عمل ب( اختر خمس قيم لعدد الساعات التي يمكن أن يعملها الحارس وكو ن جدوال بالساعات س والمبلغ الذي يتقاضاه مقابلها ج( مث ل قيم الجدول بياني ا د( هل يعد توصيل النقاط في تمثيلك البياني بخط مستقيم مقبوال بر ر إجابتك م سائل مهارات التفكير العليا إن المهمة األساسية لحارس أو ضابط األمن هي الحفاظ على أمن األفراد وممتلكاتهم ومنشآتهم ويتم اختياره وفق معايير خاصة 5( م ساألة مفتوحة: اكتب ثالثة أزواج مرتبة تمثل دالة ثم مثلها بطريقة أخرى )6 تبرير: تمثل مجموعة األزواج المرتبة 0({ )1 ( )2 ( )5-5( })4 عالقة بين المتغيرين س ص مث ل هذه األزواج المرتبة بياني ا وحد د إذا كانت هذه العالقة تمثل دالة أم ال وفس ر إجابتك 7( تحد : إذا كان د ) ب- 1( = 9 ب- 1 فاكتب عبارة تمثل د)س( 8( اكتب: استعمل المعلومات الواردة في بداية الدرس حول مسافة التوقف التام لتفسر كيف يمكن استعمال التمثيالت البيانية والدوال في المواقف الحياتية تدريب على اختبار 9( ما النقطة على خط األعداد اآلتي تمثل عدد ا مربعه أقل منه ج( ج اأ( أ د( د ب( ب 40( هند سة: ما قيمة س اأ( سم ب( 4 سم ج( 5 سم د( 6 سم مراجعة تراكمية )41 مث ل العالقة {: 4-( )2 ( )5-4( )2 9( )7- ( - )5- } بمخطط سهمي )الدر س )1-2 )42 حل المعادلة س - 8 = 7 )الدر س )4-1 حل كل معادلة مما يأتي: )الدر س 1-1( + 2 _4 )45 ع = 2 )-(4 + )44 م = )4 س = 27 _ الف سل 2: الدوال الخطية

57 فيما سبق در شت تمثيل العالقة بين الكميات بالمعادلت. واالآن أاميز المعادلة الخطية, واأحدد مقطعيها ال شيني وال شادي. اأمث ل المعادلت الخطية بياني ا. المفردات المعادلة الخطية ال شورة القيا شية الحد الثابت المقطع ال شيني المقطع ال شادي تمثيل المعادالت الخطية بياني ا لماذا تشير دراسة إلى أن إعادة تدوير طن واحد من نفايات األوراق توفر حوالي 17 شجرة و 7000 جالون ماء و براميل بترول ويمكن التعبير عن العالقة بين كمية الورق المدورة وعدد األشجار الموفرة بالمعادلة: ص = 17 س حيث تمثل ص عدد األشجار و س وزن الورق بالطن المعادلة الخطية هي المعادلة التي تمثل بياني ا بخط مستقيم وتكتب على الصورة: أ س + ب ص = ج وتسمى الصورة القياسية للمعادلة الخطية ويسمى ج الحد الثابت وتمثل أ س ب ص الحدود الجبرية مفهوم اأ سا سي التعبير اللفظي: ال سورة القيا سية للمعادلة الخطية اإلى اأ سف الصورة القياسية للمعادلة الخطية هي: أ س + ب ص = ج أ 0 وال تكون قيمتا أ و ب مع ا صفر ا أ ب ج أعداد صحيحة والعامل المشترك األكبر لها 1 االأمثلة: في المعادلة: س + 2 ص = 5 أ = ب = 2 ج = 5 وفي المعادلة: س = 7- أ = 1 ب = صفر ج = 7- obeikaneducation.com مثال 1 تمييز المعادالت الخطية حدد إذا كانت كل معادلة فيما يأتي خطية أم ل وإذا كانت كذلك فاكتبها بالصورة القياسية: اأ( ص = 4 - س أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية ص = 4 - س المعادلة األصلية ص + س = 4 - س + س أضف س إلى الطرفين س + ص = 4 بسط هذه المعادلة بالصورة القياسية أ = ب = 1 ج = 4 وهي معادلة خطية ب( 6 س - س ص = 4 بما أن الحد س ص فيه متغيران فال يمكن كتابة المعادلة على الصورة أ س + ب ص = ج لذا فهي ليست معادلة خطية تحقق من فهمك ص = 1-1 ب( ص = س اأ( 1_ الدر س -2: تمثيل المعادلت الخطية بياني ا 57

58 يمكن تمثيل المعادلة الخطية في المستوى اإلحداثي وي سمى اإلحداثي السيني للنقطة التي يقطع فيها المستقيم محور السينات المقطع السيني وي سمى اإلحداثي الصادي للنقطة التي يقطع فيها المستقيم محور الصادات المقطع الصادي والتمثيل البياني للمعادلة الخطية له على األكثر مقطع سيني واحد ومقطع صادي واحد ما لم تكن المعادلة على النحو س = 0 أو ص = 0 وفي تلك الحالة كل عدد حقيقي هو مقطع صادي أو مقطع سيني على الترتيب مثال 2 من االختبار أوجد المقطعين السيني والصادي للمستقيم الممثل جانب ا. اأ( املقطع السيني صفر واملقطع الصادي 0 ب( املقطع السيني 20 واملقطع الصادي 0 ج( املقطع السيني 20 واملقطع الصادي صفر د( املقطع السيني 0 واملقطع الصادي 20 اقراأ الفقرة: نريد أن نحدد المقطعين السيني والصادي للمستقيم الممثل بياني ا حل الفقرة: الخطوة 1: قراءة الريا سيات المقطعان ال سيني وال سادي المقطع السيني يقع في النقطة ) صفر( والمقطع الصادي 6 يقع في النقطة )صفر )6 إليجاد المقطع السيني ابحث عن النقطة التي يقطع فيها المستقيم محور السينات بما أن المستقيم يقطع محور السينات في النقطة )20 0( إذن فالمقطع السيني 20 إليجاد المقطع الصادي ابحث عن النقطة التي يقطع فيها المستقيم محور الصادات بما أن المستقيم يقطع محور الصادات في النقطة )0 0( إذن فالمقطع الصادي 0 الخطوة 2: وعليه فالجواب الصحيح هو ب تحقق من فهمك 2( أوجد المقطعين السيني والصادي للمستقيم الممثل جانب ا: اأ( المقطع السيني صفر والمقطع الصادي ب( المقطع السيني والمقطع الصادي صفر ج( المقطع السيني والمقطع الصادي غير موجود د( ال يوجد مقطع سيني والمقطع الصادي يكون للمقطعين السيني والصادي معنى عندما تمثل المعادالت مواقف من واقع الحياة 58 الف سل : 2 الدوال الخطية

59 اإر سادات للدرا سة تمييز المتغيرات الزمن في المثال هو المتغير المستقل وحجم الماء هو المتغير التابع مثال من واقع الحياة اإيجاد المقطعين ال سيني وال سادي بركة سباحة: ف ر غت بركة سباحة بمعد ل 720 لتر ا في الساعة. ويبين الجدول المجاور الدالة التي تربط كمية الماء في البركة ووقت تفريغها. اأ( أوجد المقطعين السيني والصادي للتمثيل البياني للدالة. 14 هي قيمة س عندما تكون ص = 0 المقطع السيني = هي قيمة ص عندما تكون س = 0 المقطع الصادي = الزمن بال ساعة) س( تفريغ البركة كمية الماء باللتر ) س( ب( صف مدلول كل من المقطعين في هذه الحالة. يعني المقطع السيني 14 أن كمية الماء في البركة بعد 14 ساعة سيكون صفر ا أو أن البركة قد ف ر غت بشكل كامل ويعني المقطع الصادي أن البركة تحتوي على لتر ا من الماء في الزمن صفر أي قبل بداية عملية التفريغ وهذا ما يظهره التمثيل البياني تحقق من فهمك ( قيادة ال سيارة: تريد عائلة أحمد الذهاب إلى مزرعتهم والجدول المجاور يبين المسافة المتبقية للوصول إلى المزرعة بوصفها دالة للزمن أوجد المقطعين السيني والصادي وص ف معنى كل منهما الزمن بال ساعة ) س( الم سافة المتبقية بالكيلومتر ) س( تمثيل المعادلة الخطية بياني ا: أوجد المقطعين السيني والصادي فتتكون لديك نقطتان يمر بهما التمثيل البياني للدالة ثم استعملهما لتمثيل المستقيم ألنك بحاجة إلى نقطتين فقط لتمثيله مثال 4 تمثيل المعادلة بياني ا با ستعمال المقطعين ال سيني وال سادي اإر سادات للدرا سة المعادالت المتكافئة إعادة كتابة المعادلة بداللة ص يسه ل عملية إيجاد قيم ص فمثال إذا كان: 4 س + ص = - فإن: ص = -4 س - مثل المعادلة 2 س + 4 ص = 16 بيانيا ا باستعمال المقطعين السيني والصادي. إليجاد المقطع السيني ضع ص = 0 المعادلة األصلية 2 س + 4 ص = 16 استبدل ص بصفر 2 س + 4)0( = 16 بس ط 2 س = 16 اقسم على 2 س = 8 فيكون المقطع السيني 8 أي أن المستقيم يقطع محور السينات في النقطة )8 0( الدر س -2: تمثيل المعادلت الخطية بياني ا 59

60 وإليجاد المقطع الصادي ضع س = 0 المعادلة األصلية 2 س + 4 ص = 16 استبدل ص بصفر 2)0( + 4 ص = 16 بس ط 4 ص = 16 اقسم على 4 ص = 4 فيكون المقطع الصادي 4 أي أن المستقيم يقطع محور الصادات في النقطة )0 4( عي ن هاتين النقطتين في المستوى اإلحداثي ثم ص ل بينهما بخط مستقيم تحقق من فهمك اإر سادات للدرا سة المقطعان ال سيني وال سادي المقطع السيني هو موقع تقاطع الخط المستقيم مع محور السينات وقيمة ص فيه صفر دائم ا والمقطع الصادي هو موقع تقاطع الخط المستقيم مع محور الصادات وقيمة س فيه صفر دائم ا مث ل كل معادلة فيما يأتي بيانيا ا باستعمال المقطعين السيني والصادي : 4 اأ( - س + 2 ص = 4 ب( ص = - س - 5 الحظ أن المعادلة في المثال 4 لها مقطع سيني ومقطع صادي إال أن بعض المستقيمات قد يكون لها مقطع سيني وال يوجد لها مقطع صادي أو بالعكس فمثال التمثيل البياني ل ص = ب هو مستقيم أفقي له مقطع صادي فقط )ما لم تكن ب = صفر( ويكون موقع المقطع في النقطة )0 ب( والتمثيل البياني ل س = أ هو مستقيم رأسي له مقطع سيني فقط )ما لم تكن أ = 0( ويكون موقع المقطع في النقطة )أ 0( وكل زوج مرتب يجعل المعادلة صحيحة يمث ل نقطة على المستقيم لذا فالتمثيل البياني للمعادلة يمثل جميع حلولها وأي زوج مرتب ال يجعل المعادلة صحيحة يمثل نقطة ال تقع على المستقيم مثال 5 التمثيل البياني بتكوين جدول س + 2 بيانيا ا. مث ل المعادلة ص = 1_ المجال جميع األعداد الحقيقية اختر قيم ا للمجال وكو ن جدوال ويفضل عندما يكون معامل س كسر ا أن تختار أعدد ا من المجال تكون من مضاعفات المقام ثم تكو ن أزواج ا مرتبة وتمث لها بياني ا _1 س )-( _1 2 + )0( _1 2 + )( _1 2 + )6( _1 س س ) س س ) )1,-( ) 2,0( ),( ) 4,6( تحقق من فهمك مث ل بيانيا ا كل معادلة فيما يأتي بتكوين جدول: 5 اأ( 2 س - ص = 2 5 ب( س = 5 ج( ص = الف سل : 2 الدوال الخطية

61 تاأكد حدد إذا كانت كل معادلة فيما يأتي خطية أم ل وإذا كانت كذلك فاكتبها بالصورة القياسية : _1 ص = 2 _2 س - ) 1 س = ص - 5 ) 2-2 س - = ص ) - 4 ص + 6 = 2 ) 4 أوجد المقطعين السيني والصادي لكل دالة خطية فيما يأتي ثم صف معنى كل منهما: الزمن بالثواني ) س( موقع غطا س العمق باالأمتار ) س( ) 6 º ) 5 مثال 1 المثاالن 2 تدرب وحل الم سائل ) 7 مث ل المعادلة : 2 س - 5 ص = 1 بيانيا ا باستعمال المقطعين السيني والصادي. ) 8 مث ل المعادلة : س + 2 ص = 4 بيانيا ا بإنشاء جدول. حدد إذا كانت كل معادلة فيما يأتي خطية أم ل وإذا كانت كذلك فاكتبها بالصورة القياسية: ) 9 5 س + ص = 2 25 ) ص = 4 س ) س ص - 6 س = 7 ) ص = 4- ) 1 12 س = 7 ص - 10 ص ) 1 4 ص = 4 س + س مثال 4 مثال 5 مثال 1 أوجد المقطعين السيني والصادي لكل دالة خطية فيما يأتي: س س ) 1 6 ) 1 5 مث ل كلا من المعادلتين اآلتيتين بيانيا ا باستعمال المقطعين السيني والصادي: ) ص = - س ) 1 7 ص = س مث ل كل معادلة فيما يأتي بيانيا ا بإنشاء جدول: ) 2 1 س = ص ) 2 0 ص = 4- ) 1 9 س = 2- حد د إذا كانت كل معادلة فيما يأتي خطية أم ل وإذا كانت كذلك فاكتبها بالصورة القياسية: ) 2 أ + ب - 2 = ب ) ن - 8 م = 4-2 م م 4 _ = 2 ن_- 5 ) 2 5 ) س - س ص + 5 ص = 1 المثاالن 2 مثال 4 مثال 5 الدر س -2: تمثيل المعادلت الخطية بياني ا 61

62 ) 2 6 مبيعات: راتب أيمن الشهري 6000 ريال ويتقاضى عمولة قدرها 500 ريال عن كل سيارة يبيعها اأ( مث ل بياني ا املعادلة التي متث ل دخل أيمن الشهري إذا باع س سيارة ب( استعمل التمثيل البياين لتقدير عدد السيارات التي ينبغي عليه بيعها ليكون دخله الشهري ريال مث ل كلا من المعادلتين اآلتيتين بيانيا ا: ) 2 8 ص - 7 = 4 س + 1 _1 س = 5 ) 2 7 ص + أوجد المقطعين السيني والصادي لكل من المعادلتين اآلتيتين: _2 س + 1 ) 0 ص = ) س + ص = 15 م سائل مهارات التفكير العليا ) 1 تحد : انسخ كل جدول مما يأتي وأكمله ثم حدد أي ها يمث ل عالقة خطية وفس ر إجابتك محيط المربع طول ال سلع المحيط 1 2 م ساحة المربع طول ال سلع الم ساحة 1 2 حجم المكعب طول ال سلع الحجم 1 2 ) 2 تبرير: بي ن نقاط االختالف في التمثيل البياني للمعادلة ص = 2 س+ 1 التي مجالها }1 4{ 2 والمعادلة ص = 2 س+ 1 التي مجالها جميع األعداد الحقيقية م ساألة مفتوحة: أعط مثاال لمعادلة خطية على الصورة أس+ ب ص = ج لكل حالة مما يأتي: ) 5 ج = 0 ) 4 ب = 0 ) أ = 0 ) 6 اكتب: اشرح كيف تجد المقطعين السيني والصادي من معادلة خطية ولخ ص طريقة تمثيل معادلة خطية بياني ا تدريب على اختبار ) 7 يقطع مهند 8 كيلومترات على دراجته الهوائية في 0 دقيقة ما الوقت الذي سيحتاج إليه لقطع 0 كيلومتر ا بهذا المعد ل تقريب ا اأ( 8 ساعات ج( 6 ساعات و 2 دقيقة ب( ساعتان د( ساعة واحدة و 5 دقيقة مراجعة تراكمية ) 9 إذا كان: د)س( = - س س - 1 فأوجد د)- )1 )الدر س )2-2 حل كلا من المعادلتين اآلتيتين ثم تحقق من صحة الحل: )الدر س 5-1( ) س = 12 ) 4 0 س+ 5 = 8- حل كلا من المعادلتين اآلتيتين ثم تحقق من صحة الحل: )الدر س -1( ص _ = ) 4 ) = 4 أ الف سل : 2 الدوال الخطية ) 8 إذا كان لدى هند ريال مضى عليها عام هجري كامل فما مقدار الزكاة المستحقة على هذا المبلغ علم ا بأن نسبة الزكاة هي 2.5 ج( 50 رياال اأ( 25 رياال د( 5000 ريال ب( 500 ريال

63 سبق فيما در شت تمثيل المعادلت الخطية بياني ا با شتعمال الجداول اأو المقطعين. واالآن أاحل المعادلت بياني ا. اأقد ر حل المعادلة بياني ا. حل المعادالت الخطية بياني ا لماذا يبين الشكل المجاور المبلغ المتبقي بعد أن يدفع أحمد عدد ا من أقساط تكلفة تقويم أسنانه والذي تمثله الدالة : ب = 85- أ حيث أ عدد الدفعات التي قيمة كل منها 85 رياال و ب المبلغ المتبقي المفردات الدالة الخطية الدالة المولدة )الأم( الجذر الأ شفار الحل بياني ا: الدالة الخطية هي دالة تمثل بياني ا بمستقيم وأبسط دالة خطية هي د )س( = س وتسمى الدالة المولدة )األم( لمجموعة الدوال الخطية مفهوم اأ سا سي الدالة الخطية د )س( = س الدالة المولدة )االأم( خط مستقيم نوع التمثيل البياني جميع األعداد الحقيقية المجال جميع األعداد الحقيقية المدى اأ سف اإلى obeikaneducation.com حل المعادلة أو الجذر هو أي قيمة تجعل المعادلة صحيحة وللمعادلة الخطية جذر واحد على األكثر ويمكنك إيجاد جذر المعادلة بتمثيل الدالة المرتبطة بها ولكتابة هذه الدالة بمعادلة عو ض صفر ا بدال من د )س( المعادلة الخطية الدالة المرتبطة 2 س 8 = 0 د )س( = 2 س 8 أو ص = 2 س - 8 تسمى قيم س التي تجعل د )س( = 0 أصفار الدالة ويقع صفر الدالة عند المقطع السيني لها وجذر المعادلة هو قيمة المقطع السيني ولذا فإن: 4 هو المقطع السيني للمعادلة: 2 س 8 = 0 4 هو حل المعادلة: 2 س 8 = 0 4 هو جذر المعادلة: 2 س 8 = 0 4 هو صفر الدالة: د )س( = 2 س 8 الدر س 4-2: حل المعادلت الخطية بياني ا 6

64 مثال 1 حل كل معادلة فيما يأتي: س - 2 اأ( =0 _1 الطريقة 1: الحل جبريا ا حل المعادلة التي لها جذر واحد س - 2 المعادلة األصلية _1 =0 س أضف 2 إلى الطرفين _1 = س( اضرب كل طرف في _1 ( = )2( 6= س بس ط الحل هو 6 ب( س + 1 = 2- الطريقة 2: الحل بيانيا ا أوجد الدالة المرتبطة وأعد كتابة المعادلة بحيث يكون طرفها األيسر صفر ا س + 1 = 2- المعادلة األصلية س = أضف 2 إلى الطرفين س + = 0 بس ط وبذلك تكون الدالة المرتبطة هي: د )س( = س + ولتمثيل الدالة بياني ا كو ن جدوال ص 2-0 د ) ص( = ص + د )2-( = 2- + د )0( = 0 + د ) ص( - ) ص, د ) ص( ) ) -, 2- ( ), 0 ( الخط المستقيم الذي يمثل الدالة يقطع محور السينات عند -1 لذا فإن الحل هو س = -1 تحقق من فهمك 5 س+ 1 ب( س+ 0= 1 اأ( =0 _2 اإر سادات للدرا سة االأ سفار من الجدول: صفر الدالة هو المقطع السيني الذي قيمة ص عنده تساوي صفر ا 64 الف سل 2: الدوال الخطية إذا تضمنت المعادلة المتغير نفسه في كال طرفيها فضع المتغير في طرف واحد باستعمال الجمع أو الطرح ثم أوجد الحل مثال 2 حل كل معادلة فيما يأتي: اأ( س + 7 = س + 1 الطريقة 1: الحل جبريا ا معادالت لي س لها حل س + 7 = س + 1 المعادلة األصلية س = س اطرح 1 من الطرفين س + 6 = س بس ط س - س + 6 = س - س اطرح س من الطرفين = 6 0 بس ط

65 وهذا مستحيل وتكون الدالة المرتبطة هي د)س( = 6 وبما أن جذر المعادلة الخطية هو قيمة س عندما يكون د )س( = 0 وحيث د )س( يساوي 6 دائم ا فليس للمعادلة حل ب( 2 س - 4 = 2 س - 6 الطريقة 2: الحل بيانيا ا 2 س - 4 = 2 س - 6 المعادلة األصلية 2 س = 2 س س + 2 = 2 س بس ط أضف 6 إلى الطرفين 2 س - 2 س + 2 = 2 س - 2 س اطرح 2 س من الطرفين = 2 0 بس ط مث ل الدالة المرتبطة د)س( = 2 بياني ا وبما أن المستقيم ال يقطع محور السينات لذلك ال يوجد حل للمعادلة تحقق من فهمك 2 اأ( 4 س + = 4 س ب( - 2 س = 6 - س تقدير الحل با ستعمال التمثيل البياني: قد يزودك التمثيل البياني بحل تقديري وفي هذه الحالة استعمل الطريقة الجبرية إليجاد الحل الدقيق ر 0 5 مثال من واقع الحياة التقدير با ستعمال التمثيل البياني مواقف سيارات: تمثل الدالة م = ر المبلغ )م( المتبقي مع أحمد بعد توقف سيارته )ر( ساعة في موقف للسيارات أوجد صفر الدالة وبين ما يعنيه في هذا السياق يبين التمثيل البياني أن المستقيم يقطع محور السينات عند ر 27 وللتأكد استعمل طريقة الحل الجبري م = ر المعادلة األصلية = ر - عوض القيمة صفر ا بدل من م 0.75 ر + 0 = ر ر أضف 0.75 ر إلى الطرفين 0.75 ر = 20 بسط _ ر _ = بسط ر اقسم على 0.75 فيكون صفر هذه الدالة هو تقريب ا لذا فأقصى عدد من الساعات الكاملة التي يمكن ألحمد إيقاف سيارته خاللها هو 26 ساعة م = ر م = م = م ( ر, م ) ) 20, 0 ( ) 16 25, 5 ( تظهر أهمية مواقف انتظار السيارات في استيعابها عدد ا كبير ا من السيارات بما يقضي على معاناة المواطنين وإعاقة سير المركبات والمشاة بسبب توقف السيارات على جوانب الطرق الدر س 4-2: حل المعادلت الخطية بياني ا 65

66 تحقق من فهمك ( مق سف مدر سة: اشترى مقصف مدرسة علبة حلوى بمبلغ )45( رياال فإذا باع القطعة الواحدة ب 1.5 ريال وكانت الدالة ص = 1.5 س 45 تمثل الربح الذي يحققه عند بيع س قطعة من الحلوى فأوجد صفر الدالة وص ف ماذا يعني ذلك في سياق هذه المسألة تاأكد حل كل معادلة فيما يأتي بيانيا ا: ) 2 4 س - 2 = 0 ) 1-2 س + 6 = 0 ) 4 0 = - س - 8 ) 9 س + = 0 ) 6 2 س - 5 = 2 س + 8 ) 5 4 س + 11 = 4 س - 24 ) 7 خ سار: تمثل الدالة و = 60-2 ن وزن الجزر المتبقي بالكيلو جرام في محل أحمد بعد بيعه )ن( كيس ا أوجد صفر الدالة ووضح ما يعنيه في هذا السياق المثاالن 1 2 مثال تدرب وحل الم سائل المثاالن 2 1 حل كل معادلة فيما يأتي: ) س - = 16-8 س ) 1 0 س - 10 = 21 + س ) 8 0 = س + ) س - 6 = 0 ) = 7 س + 10 ) 1-7 س + 5 = 20-7 س ) 1 4 أراد محمد شراء أقالم ألصدقائه بمبلغ )75( رياال والمعادلة م = - د + 75 تمثل المبلغ )م( بالريال المتبقي معه بعد شراء )د( قلم ا أوجد صفر الدالة ووضح ما يعنيه في هذا السياق مثال حل كل معادلة فيما يأتي: ) = 1 س + 4 ) س = 0 2_ س 5 - _ 4 = 0 ) 1 8 ) = 22 س 10- ) 1 9 قالب ثلجي: كانت درجة حرارة قالب ثلجي عند إخراجه من حافظة الثلج - 10 س وتمثل المعادلة: ت = 1.25 ه -10 درجة حرارة الثلج بعد ه ساعة من إخراجه فما الوقت الذي يبدأ فيه القالب بالذوبان إذا تم إخراجه عند الساعة 8:00 صباح ا 66 الف سل 2: الدوال الخطية

67 حل كل معادلة فيما يأتي بيانيا ا وتحقق من إجابتك جبريا ا: ) س + = 1 + س ) س - = 8-4 س _1 س - 5 = س ) 2 ) س - 0 = 5 س - 50 اإر سادات للدرا سة سفر الدالة: ي سمى صفر الدالة أيض ا جذر المعادلة أو المقطع السيني ) 2 4 منتجات ال سعر: تستعمل المواد الكيماوية لجعل الشعر األجعد أملس وت م ثل النسبة المئوية المتبقية إلكمال العملية بالمعادلة : ص = س حيث س الزمن بالدقائق الذي يبقى فيه المحلول على الشعر ص النسبة المئوية المتبقية إلتمام العملية اأ( أوجد صفر الدالة ب( مث ل الدالة بياني ا ج( بين ما يعنيه الصفر في هذه الحالة د( اذكر كال من مجال الدالة ومداها م سائل مهارات التفكير العليا ) 2 5 تبرير: وضح متى يفضل استعمال الطريقة الجبرية لحل المعادلة ومتى يفضل حلها بالتمثيل البياني واكتب الدالة المرتبطة بها _ 4 ) 2 6 م ساألة مفتوحة: اكتب معادلة خطية جذرها - ) 2 7 اكتب: لخ ص كيف تحل معادلة خطية جبري ا وبياني ا تدريب على اختبار ) 2 8 ما التقدير األفضل للمقطع السيني للتمثيل البياني للدالة الخطية الممثلة في الجدول اأ( بين 1 0 ج( بين 2 1 ب( بين 2 د( بين 4 ) 2 9 يبين الجدول أدناه التكلفة ج الستئجار زورق مدة ه ساعة ال ساعات )ه( التكلفة بالريال)ج( س س أي المعادالت اآلتية تمثل بيانات الجدول اأ( ج = 25 ه ج( ج = ه +25 ب( ج = ه د( ج = 25 ه +75 مراجعة تراكمية أوجد المقطعين السيني والصادي للتمثيل البياني لكل دالة خطية فيما يأتي: )الدر س -2( ) 1 ص = 6 س - 9 ) 0 ص = 2 س + 10 ) 2 حل المعادلة: س- 1 =.7 )الدر س )5-1 ) مث ل العالقة:} 1( ) 2( )4 ( )5 4( })6 بجدول وبياني ا وبالمخطط السهمي ثمحددكال منمجالها ومداها )الدر ص )1-2 الدر س 4-2: حل المعادلت الخطية بياني ا 67

68 فيما سبق در شت تمثيل الأزواج المرتبة في الم شتوى الإحداثي. واالآن اأ شتعمل معدل التغير لحل الم شائل. اأجد ميل م شتقيم. المفردات معدل التغير الميل معدل التغير والميل لماذا تسمح لك إحدى األلعاب المائية باالنحدار لمسافة 20 متر ا ويصف معد ل التغير في هذه اللعبة نسبة تغير المسافة التي يقطعها الشخص بالنسبة للتغير في الزمن معد ل التغير: معدل التغير هو نسبة تصف معدل تغير كمية بالنسبة لتغير كمية أخرى مفهوم اأ سا سي معد ل التغير إذا كانت س هي المتغير المستقل وص المتغير التابع فإن: معدل التغير = التغير في ص _ التغير في س اإلى اأ سف obeikaneducation.com مثال 1 من واقع الحياة األعاب م سلية: استعمل الجدول المجاور إليجاد معد ل التغير ثم فسر معناه. معدل التغير = التغير في ص _ التغير في س = التغير في التكلفة التغير في عدد األلعاب _ = 2-4 _9 1 = _78 2 = اإيجاد معد ل التغير الريالت األلعاب عدد األعاب الحا سوب ) س( التكلفة بالريال) س( _9 معد ل التغير هو 1 تحقق من فهمك وهذا يعني أن كل لعبة تكلف 9 رياال 1( تبليط: يبين الجدول المجاور كيف تتغير مساحة السطح المبلط مع التغير في عدد البالطات اأ( أوجد معد ل التغير ب( فسر معنى معد ل التغير عدد البلطات ) س( 6 9 الم ساحة المبلطة )بال سنتمتر المربع( ) س( الف سل 2: الدوال الخطية

69 تعرفت من األمثلة السابقة على معدالت التغير الثابتة إال أن كثير ا من المواقف من واقع الحياة تتضمن معد الت تغير ليست ثابتة مثال 2 من واقع الحياة معدل التغير غير الثابت مدينة األعاب: يبين التمثيل البياني المجاور عدد زوار إحدى مدن األلعاب. اأ( أوجد معد ل التغير في الفترة من ه وفي الفترة من ه ه 1422 ه : اإر سادات للدرا سة المعد ل: يشير معد ل التغير الموجب إلى الزيادة مع تغير الزمن أما معد ل التغير السالب فيشير إلى نقصان الكمية التغير في عدد الزوار الزو ار = السنوات التغير في الزمن عو ض =.5 بس ط _7 2 = ازداد عدد الزوار خالل هاتين السنتين 7 آالف وذلك بمعدل تغير مقداره.5 آالف في السنة = ه 1424 ه : التغير في عدد الزوار التغير في الزمن عو ض = 0.5 بس ط _1 2 = زاد عدد الزوار خالل هاتين السنتين ألف ا وذلك بمعد ل تغير مقداره 500 زائر في السنة ب( فس ر معنى معد ل التغير في كل حالة. في الفترة من 1420 ه 1422 ه : زاد عدد الذين زاروا مدن األلعاب بمعدل 500 زائر كل سنة في الفترة من 1422 ه 1424 ه زاد عدد الذين زاروا مدن األلعاب بمعدل 500 زائر كل سنة ج( كيف يمكن إظهار معدلت التغير المختلفة على التمثيل البياني هناك تغير رأسي أكبر في الفترة من 1420 ه 1422 ه عن الفترة من 1422 ه 1424 ه ولذا يكون الجزء الذي يمثل الفترة من 1420 ه 1422 ه أكثر ميال تحقق من فهمك 2( عد إلى التمثيل البياني أعاله وأوجد - دون إجراء عمليات حسابية - فترة السنتين ذات معدل التغير األكبر ثم احسب للتحقق من إجابتك الدر س 5-2: معدل التغير والميل 69

70 اأ( يكون معدل التغير للدالة ثابت ا إذا لم تتغير قيمته بين أي نقطتين على التمثيل البياني لتلك الدالة والدوال الخطية لها معد ل تغير ثابت مثال معدالت التغير الثابتة حدد إذا كانت كل دالة فيما يأتي خطية أم ل وفسر إجابتك: س س ب( س اإر سادات للدرا سة دالة خطية اأم غير خطية حتى تكون الدالة خطية يجب أن يكون معدل التغير ثابت ا أي يجب أن يكون التغير في كل من قيم س ص ثابت ا س س س بما أن معد ل التغير ثابت فالدالة خطية تحقق من فهمك اأ( معد ل التغير _2 -= _)6-( _2 -= _)8-( _2 -= _)10-( _2 -= _)12-( ب( س س س س معد ل التغير 1 = _10-12 )-(- 1-2 = _12-16 )1-( - 1 _ = 1 - _ = - 5 بما أن معد ل التغير ليس ثابت ا فالدالة ليست خطية س س اإيجاد الميل: ميل المستقيم غير الرأسي هو نسبة التغير في اإلحداثي الصادي إلى التغير في اإلحداثي السيني كلما انتقلت من نقطة إلى أخرى وبالتالي يمكن استعماله لوصف معدل التغير إن ميل المستقيم يصف درجة انحداره وكلما زادت القيمة المطلقة للميل كان المستقيم أشد انحدار ا ي ظهر الرسم البياني المجاور مستقيم ا مار ا بالنقطتين )-1 ( )2-2( الميل = التغير الرأسي _ التغير األفقي = فرق الصادات _ فرق السينات _5 - = _ - 2- = )1-( - 2 لذا فميل المستقيم هو - 5_ 70 الف سل 2: الدوال الخطية

71 وبما أن معد ل تغير الدالة الخطية ثابت فيمكنك استعمال أي نقطتين على المستقيم غير الرأسي لتحديد ميله مفهوم اأ سا سي التعبير اللفظي: ميل المستقيم غير الرأسي هو نسبة التغير الرأسي إلى التغير األفقي الرموز: يمكن إيجاد الميل )م( للمستقيم غير الرأسي المار بالنقطتين ) 2 ص 2 ) ( س 1 ص 1 ( س على النحو اآلتي: م = س 2 ص - 2 س - 1 ص _1 الميل التغير في ص التغير في س الر سم قراءة الريا سيات 1 على الصورة تقرأ ص 2 على صاد واحد وتقرأ س الصورة سين اثنين ويشير الرقمان 2 1 إلى النقطتين األولى والثانية اللتين ترتبط بهما قيم س ص اإلى اأ سف يمكن أن يكون ميل مستقيم موجب ا أو سالب ا أو صفر ا أو غير م عر ف فإذا لم يكن المستقيم أفقي ا وال رأسي ا فميله إما موجب وإما سالب مثال 4 الميل الموجب اأو ال سالب اأو ال سفر أوجد ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط اآلتية: تنبيه! التغير الرأسي _ التغير األفقي 1 اأ( 2-( )0 1( )5 م = س 2 ص - 2 س - ص _1 ترتيب: كن حريص ا على عدم تبديل قيم س أو قيم ص ) 2 2 ص ) 1 1( )5 = ( س 1 ص 2-( )0 = ( س بس ط _0-5 = )2-( - 1 _5 = ب( -( )4 2( )- التغير الرأسي التغير األفقي 1 م = س 2 ص - 2 س - ص _1 = - _4 - -( )4 = ( س 1 ص ) 1 2( )- = ( س 2 2 ص ) )-( - 2 _7 5 - = _ 7-5 = ج( -( )1-2( )1- م = س 2 ص - 2 س - ص _1 بس ط التغير الرأسي _ التغير األفقي 1 = 1- - _)1-( عو ض )-( - 2 = 5 0 بس ط _0 = تحقق من فهمك أوجد ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط اآلتية: 4 اأ( 4-( )2-0( )2-4 ب( 2-( )2 6-( )4 الدر س 5-2: معدل التغير والميل 71

72 مثال 5 الميل غير المعر ف أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين ( 2- ) 4 ( 2- :)- ص - 2 س ص 1_ - 2 م = س _4 - - = )2-( - 2- التغير الرأسي _ التغير األفقي 1 عو ض 0 أو غير معر ف بس ط _7 - = تحقق من فهمك أوجد ميل المستقيم المار بكل زوجين من النقاط اآلتية: 5 اأ( ( 6 ) 6( )7 5 ب( -( )2 -( )1- اإر سادات للدرا سة الميل الذي قيمته سفر والميل غير المعر ف: إذا كان الفرق في قيم ص صفر ا فسيكون الخط أفقي ا وإذا كان الفرق في قيم س صفر ا فسيكون الميل غير معر ف وسيكون الخط رأسي ا وفيما يلي ملخص الرسوم البيانية للمستقيمات المختلفة الميل: مفهوم اأ سا سي الميل اإلى اأ سف الميل موجب الميل سالب الميل سفر الميل غير معرف أحيان ا قد تعطى قيمة الميل ويطلب إليك إيجاد اإلحداثي المجهول مثال 6 اإيجاد االإحداثي اإذا ع لم الميل. أوجد قيمة )ر( التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين )1 4( )-5 ر( يساوي 1_ ضع )س ص ) = 1( )4 )س ص ) = 5-( ر( ص _1 ص صيغة الميل 1-2 س م = س ر - 4 _ 1-5- = _1 ر - 4 _ 6- = _1 اطرح )ر - )4 = 6-(1 ) اضرب تبادليا ا ر - 12 = 6- خاصية التوزيع ر = 6 أضف 12 إلى كل الطرفين وبس ط ر = 2 اقسم على وبس ط لذلك فإن المستقيم يمر بالنقطة ( -5 2( تحقق من فهمك أوجد قيمة )ر( التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين )-2 6( )ر -4( يساوي الف سل 2: الدوال الخطية

73 تاأكد أوجد معد ل التغير الممثل في كل من التمثيل البياني أو الجدول فيما يأتي: ) 2 ) 1 ) مطاعم: استعمل الشكل المجاور في اإلجابة عما يأتي: س اأ( أوجد معد ل التغير في األسعار من ه وفسر معناه ب( دون إجراء الحسابات أوجد فترة العامين التي كان معد ل تغيرها أكبر من معدل التغير في الفترة من ه وفسر إجابتك حد د إذا كانت كل دالة فيما يأتي خطية أم ل وفسر إجابتك: ) س ) س أوجد ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط اآلتية: س س س )4 -( )7 -( ) 7 )1 2-( ) 4-( ) 6 أوجد قيمة )ر( التي تجعل ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط اآلتية كما هو م عطى: _5 ) 9 5( )2 7-( ر( م = 6 ) 8 4-( ر( 8-( ) م = 5- مثال 1 مثال 2 مثال المثاالن 5 4 مثال 6 تدرب وحل الم سائل مثال 1 أوجد معد ل التغير لكل من الدالتين الممثلتين بالجدولين اآلتيين: س س ) 1 1 س س ) 1 0 ) 1 2 سكان: أوجد المعد ل السنوي للتغير في عدد سكان المدينة المنورة من عام 1414 ه إلى 1426 ه وفس ر معناه ال سنة 1414 ه 1426 ه عدد سكان المدينة المنورة مثال 2 الدر س 5-2: معدل التغير والميل 7

74 حدد إذا كانت كل دالة فيما يأتي خطية أم ل وفسر إجابتك: س س ) س ) 1 س مثال أوجد ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط اآلتية: )14 6( )10-6( ) 1 7 )2-2-( )2 2( ) 1 6 )1 1( )2-8( ) 1 5 أوجد قيمة )ر( التي تجعل ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط اآلتية كما هو م عطى: ) 1 9 )ر )5- ( )1 م = 8 ) ( )10 2-( ر( م = 4- ) 2 0 معد ل نمو ال سعر: طول شعر فاطمة 25 سنتمتر ا وفي غضون ثالثة أشهر نما شعرها ثالثة سنتمترات أخرى أجب عما يأتي مفترض ا أن شعرها ينمو بالمعدل نفسه: اأ( أكمل الجدول المجاور ب( مث ل العالقة بين نمو شعر فاطمة والزمن باألشهر بياني ا الزمن باالأ سهر طول سعر فاطمة ج( ما ميل المستقيم الذي يمثل العالقة بين نمو الشعر والزمن وماذا يمثل 6 0 المثاالن 5 4 مثال 6 م سائل مهارات التفكير العليا ) 2 1 تبرير: لماذا ال تستعمل معادلة الميل في المستقيمات الرأسية فسر ذلك تتميز سيارات الدفع الرباعي بنظام حركي يوفر لها األمان وسهولة الحركة على الطرق الرملية والجبلية والوعرة ) 2 2 تحد : إذا كنت ترتفع 5 أقدام لكل 1 أقدام تتحركها إلى األمام عند قيادة سيارتك في طريق جبلي فما ميل الطريق ) 2 تحد : أوجدقيمةد التيتجعلميل المستقيم المار _1 2 بالنقطتين ( أ ب( ( ج د ) يساوي ) 2 4 اكتب: بي ن العالقة بين معد ل التغير والميل وكيف يمكن إيجاد ميل مستقيم تدريب على اختبار ) 2 5 اشترت روان حاسوب ا بقيمة 4000 ريال فإذا علمت أن سعره ينخفض بصورة خطية وكانت قيمته بعد سنتين 2500 ريال فما مقدار االنخفاض السنوي في سعره اأ( 1500 ريال ب( 750 رياال ج( 2500 ريال د( 1250 رياال ) 2 6 احتمال: ما احتمال ظهور العدد 5 عند إلقاء مكعب أرقام )6-1( مرة واحدة ب( 1_ 5 د( 1_ 6 اأ( 5_ 6 ج( 1_ 2 مراجعة تراكمية حل كل معادلة فيما يأتي بيانيا ا: الدر س) 4-2 ( ) = 12 س - 48 ) س - 2 = 0 ) 2 7 س + 18 = 0 ) 0 حل المعادلة س- = 8. الدر س) 5-1 ( 74 الف سل 2: الدوال الخطية

75 فيما سبق در شت الدوال الخطية واالآن أاتعرف المتتابعات الح شابية. اأمثل المتتابعات الح شابية بدوال خطية. المفردات المتتابعة الحد المتتابعة الح شابية الأ شا ص المتتابعات الح سابية كدوال خطية لماذا في تدريب لسباق 2000 متر سجل مدرب أوقات فريقه على النحو اآلتي: 400 متر في دقيقة و 2 ثانية. 800 متر في دقائق و 4 ثوان متر في 4 دقائق و 6 ثانية متر في 6 دقائق 8 ثوان. وأنهى الفريق السباق كامال في زمن قدره 7 دقائق و 40 ثانية تعر ف المتتابعات الح سابية: يمكنك ربط نمط زمن الفريق بدوال خطية والمتتابعة هي مجموعة مرتبة من األعداد وي سمى كل عدد فيها حدا ا انظر إلى النمط في سباق الجري أعاله وكو ن جدوال ثم حل ل البيانات : : :6 800 : :2 الم سافة باالأمتار الزمن بالدقائق والثواني obeikaneducation.com 1:2 + 1:2 + 1:2 + 1:2 + وكلما ازدادت المسافة في فترات منتظمة زاد الزمن بمقدار دقيقة واحدة و 2 ثانية وبما أن الفرق بين كل حدين متتاليين ثابت فهي متتابعة حسابية ويسمى الفرق بين الحدين المتتاليين األساس ويرمز إليه بالرمز»د«مفهوم اأ سا سي المتتابعة الح سابية أساس المتتابعة التعبير اللفظي: المتتابعة الحسابية نمط عددي يزيد أو ينقص بمقدار ثابت ي سمى اأمثلة د = 2 د = 4- اأ سف اإلى وتدل النقاط الثالث المستعملة في المتتابعة على استمرارها على هذا النمط وتشير إلى وجود المزيد من حدود المتتابعة التي لم تكتب الدر س 6-2: المتتابعات الح شابية كدوال خطية 75

76 مثال 1 تمييز المتتابعة الح سابية حدد إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم ل وفسر إجابتك: اأ( ب( _1 _5 _ _ _1 16 _ 4 _5 8 _1 2 _ _1 8 + _ اإر سادات للدرا سة اأ سا س المتتابعة إذا كانت حدود المتتابعة الحسابية متزايدة فاألساس موجب وإذا كانت متناقصة فاألساس سالب الفرق بين كل حد والذي يليه ثابت فالمتتابعة حسابية ليست متتابعة حسابية ألن الفرق بين كل حد والذي يليه ليس ثابت ا تحقق من فهمك 1 اأ( ب( يمكن استعمال أساس المتتابعة الحسابية إليجاد الحد التالي فيها مثال 2 اإيجاد الحد التالي أوجد الحدود الثلثة التالية في المتتابعة الحسابية: الخطوة 1: أوجد األساس بطرح الحدود الخطوة 2: أضف -6 إلى الحد األخير في المتتالية المتتابعة لتجد الحد التالي الحدود الثالثة التالية هي: تحقق من فهمك 2( أوجد الحدود األربعة التالية في المتتابعة: يمكن التعبير عن أي حد من حدود المتتابعة الحسابية بداللة الحد األول أ 1 واألساس د كما يأتي: العدد )على فرض أن أ = 1 8 د = (. الرمز بدللة أ 1 د الحد الحد األول الحد الثاني الحد الثالث الحد الرابع الحد العام مفهوم اأ سا سي 8 11 = )( = )( = )( )ن - )()1 أ 1 أ + 1 د أ د أ + 1 د أ + 1 )ن - 1 (د أ 1 أ 2 أ أ 4 أ ن األساس 6-. ابن حمزة المغربي: عالم مسلم عاش في القرن 10 ه درس المتتابعات الحسابية والهندسية والربط بينها ليضع أسس علم اللوغاريتمات في كتابة "تحفة األعداد لذوي الرشد والسداد" اأ سف اإلى الحد النوني في متتابعة ح سابية )ن- 1 ( د حيث ي عب ر عن الحد النوني لمتتابعة حسابية حدها األول أ 1 وأساسها د بالصيغة: أ ن = أ + 1 ن عدد صحيح موجب 76 الف سل 2: الدوال الخطية

77 مثال اإيجاد الحد النوني اأ( اكتب معادلة الحد النوني للمتتابعة الحسابية: الخطوة 1: أوجد األساس األساس الخطوة 2: اكتب المعادلة: ن أ ن = أ + 1 )ن - 1( د معادلة الحد النوني بشكل عام = )ن - 4)1 أ = د = 4 = 12-4 ن خاصية التوزيع = 4 ن - 16 بس ط ب( أوجد الحد التاسع في المتتابعة السابقة. عوض 9 بدال من ن في معادلة الحد النوني التي توصلت إليها في الفقرة أ معادلة الحد النوني أ ن = 4 ن - 16 ن = 9 أ = 9 )9(4-16 اضرب أ = بس ط أ = 9 20 ج( مث ل الحدود الخمسة األولى من المتتابعة بيانيا ا. 4 ن )1(4 1 أ ن 12- )ن أ ن ) )12-1( )8-2( )4- ( )0 4( )4 5( )2( )( )4( )5( د( ما الحد الذي قيمته 2 عوض 2 بدال من أ ن في معادلة الحد النوني أ ن = 4 ن - 16 معادلة الحد النوني = 2 4 ن - 16 أن = 2 = ن أضف 16 إلى الطرفين = 48 4 ن بس ط = 12 ن اقسم على 4 إذن الحد الذي قيمته 2 هو الثاني عشر تحقق من فهمك بناء على المتتابعة الحسابية: أجب عم ا يأتي: اأ( اكتب معادلة الحد النوني للمتتابعة ب( أوجد الحد الخامس عشر في المتتابعة ج( مث ل الحدود الخمسة األولى في المتتابعة بياني ا د( ما الحد الذي يساوي الدر س 6-2: المتتابعات الح شابية كدوال خطية 77 اإر سادات للدرا سة الحد النوني: بما أن ن تمثل ترتيب الحد فإن قيمها هي األعداد الصحيحة الموجبة

78 المتتابعات الح سابية والدوال: كما رأيت في المثال التمثيل البياني للحدود األولى للمتتابعة الحسابية يظهر أنها تقع على خط مستقيم فالمتتابعة الحسابية هي دالة خطية يكون فيها )ن( متغير ا مستقال أ ن متغير ا تابع ا )د( هو الميل لذا يمكن إعادة كتابة معادلة الحد النوني على صورة الدالة: ق)ن( = )ن- 1 ( د+ أ 1 حيث ن عدد صحيح موجب وعلى الرغم من أن مجال معظم الدوال الخطية هو األعداد الحقيقية فإن مجال الدالة في المثال هو مجموعة األعداد الصحيحة الموجبة ومداها هو مجموعة األعداد الصحيحة مثال 4 من واقع الحياة المتتابعة الح سابية كدالة دعوة: المتتابعة الحسابية 0.25 ريال 0.50 ريال 0.75 ريال 1 ريال... تمثل تكلفة الرسائل النصية التي أرسلها منصور ألصدقائه لحضور حفل زفافه مقابل إرساله رسالة واحدة رسالتين رسائل 4 رسائل... اأ( اكتب دالة تعبر عن هذه المتتابعة الحد األول في المتتابعة أ 1 هو 0.25 وأساسها 0.25 أيض ا معادلة الحد النوني أ ن = أ + 1 )ن - 1( د أ = د = 0.25 = )ن - ) خاصية التوزيع = ن بس ط. = 0.25 ن ي عد الرياضي السعودي حسين السبع أول واثب عربي يتخطى حاجز 8 أمتار وذلك بعد أن سج ل 8.04 أمتار في تصفيات دورة األلعاب األولمبية بالعاصمة الصينية عام 2008 م فتكون الدالة: ق )ن( = 0.25 ن ن ب( مث ل الدالة بيانيا ا وحد د مجالها. معد ل التغير للدالة 0.25 كو ن جدوال للدالة ثم عين النقاط بياني ا ق )ن( بما أن مجال الدالة هو عدد الرسائل التي بعثها منصور لذا فالمجال = }1 } 2 تحقق من فهمك 4( الوثب الطويل: يبين الجدول اآلتي أطوال و ث بات محمد أثناء تدربه على الوثب الطويل بالمدرسة: الوثبة طول الوثبة )بالمتر( اأ( اكتب دالة تمث ل المتتابعة الحسابية ب( مث ل الدالة بياني ا الف سل 2: الدوال الخطية

79 تاأكد حدد إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم ل وفسر إجابتك: ) )1 أوجد الحدود الثلثة التالية لكل متتابعة حسابية فيما يأتي: ) ) اكتب معادلة الحد النوني لكل متتابعة حسابية فيما يأتي ثم مث ل حدودها الخمسة األولى بيانيا ا: ) )5 مثال 1 مثال 2 مثال مثال 7( 4 توفير: يملك يوسف 525 رياال في حساب توفيره وبعد شهر أصبح لديه 580 رياال وفي الشهر التالي بلغ رصيده 65 رياال وبعد الشهر الثالث كان رصيده 690 رياال اكتب دالة تعبر عن المتتابعة الحسابية ثم مث لها بياني ا تدرب وحل الم سائل حدد إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم ل وفسر إجابتك: 16 _7 8 _5 4 _ 2 _1 ) )8 أوجد الحدود الثلثة التالية في كل متتابعة حسابية فيما يأتي: ) ) _1 2 0 _1 2 - )1 000 _1 2 _2 2 _1 )12 مثال 1 مثال 2 اكتب معادلة الحد النوني لكل متتابعة حسابية فيما يأتي ثم مث ل حدودها الخمسة األولى بيانيا ا: ) ) ) )16 مثال مثال 18( 4 حدائق ترفيهية: لعب حمد وأصدقاؤه في مدينة األلعاب لعبتين خالل الساعة األولى وبعد ساعتين كانوا قد لعبوا 4 ألعاب و بعد ثالث ساعات 6 ألعاب اأ( اكتب دالة للتعبير عن المتتابعة الحسابية ب( مث ل الدالة بياني ا وحدد المجال 19( مستعمال التمثيل البياني المجاور لمتتابعة حسابية: اأ( اكتب الحدود الخمسة األولى ب( اكتب معادلة الحد النوني ج( اكتب دالة للتعبير عن المتتابعة الحسابية 20( اإعلنات: تتقاضى إحدى الصحف أجور اإلعالنات حسب عدد كلمات اإلعالن اكتب دالة تعبر عن تكاليف اإلعالن الدر س 6-2: المتتابعات الح شابية كدوال خطية 79

80 تدريب على اختبار 0( أي العلقات اآلتية تمثل دالة اأ( 5-({ )6 4( )- 2( )1-4( })2 ب( ({ )1- ( )5- ( )4 ( })6 مراجعة تراكمية 80 الف سل 2: الدوال الخطية 21( ما الحد األول في متتابعة حسابية حدها الرابع يساوي 8 وأساسها 2 22( متتابعة حسابية أساسها -5 إذا كان أ 12 يساوي 22 فما قيمة أ 1 2( ما الحد الذي قيمته - 6 في المتتابعة الحسابية ( تمثيلت متعددة: في متتابعة فيبوناشي قيمة أي حد )بعد أول حدين( تساوي مجموع الحدين السابقين له والحدود الستة األولى لها هي: اأ( جبري ا: اكتب معادلة الحد النوني إذا كانت ن ب( جبري ا: أوجد الحد الخامس عشر في المتتابعة ج( تحليلي ا: بين إذا كانت متتابعة فيبوناشي حسابية أم ال م سائل مهارات التفكير العليا 25( م ساألة مفتوحة: كو ن متتابعة حسابية أساسها ( تحد: أوجد قيمة س التي تجعل س+ 8 4 س+ 6 س الحدود الثالثة األولى لمتتابعة حسابية 27( بي ن إذا كانت المتتابعة: س- 1 س+ 2 5 س+ 5 حسابية أم ال وفس ر إجابتك 28( تحد: بين هل المتتابعة في كل مما يلي حسابية أم ال وفس ر إجابتك وإذا كانت حسابية فأوجد أساسها والحدود الثالثة التالية اأ( 2 س+ 1 س+ 1 4 س+ 1 ب( 2 س 4 س 8 س 29( اكتب: وضح كيف تجد حد ا معين ا في متتابعة حسابية وكيف تكتب المتتابعة الحسابية كدالة خطية 1( أوجد معادلة الحد النوني للمتتابعة الحسابية: ( أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين )9 2( )- -1( )الدر س 5-2( حل كلا من المعادلتين اآلتيتين بيانيا ا: )الدر س 4-2( ج( 2-({ ) 0( ) 2-( )1-1-( })2 د( 5-({ )6 4( )- 2( )1-0( })2 اأ( أ ن = ن - 4 ب( أ ن = - 7 ن + 1 ج( أ ن = ن - 10 د( أ ن = - 7 ن + 4 س - 1 = 0 _2 ) س + = 1- )4 5( حل المعادلة 5 س +7 = -8 وتحقق من صحة الحل )الدر س -1( )6 حل المعادلة س = 12- )الدر س )2-1

81 الف سل س الف سللل اختبار ) 1 مث ل العالقة اآلتية بجدول وبمخطط سهمي وبياني ا ثم حد د كال من مجالها ومداها: } ) 0( )2-1( )0 1-( ) 4-( )2 -({ إذا كان د )س( = 5-2 س ه )س( = س س فأوجد قيمة كل من : ) د )- 6 ص( ) 2 ه )( ) 4 درجة الحرارة: يبين الشكل أدناه معادلة تحويل درجات الحرارة السيليزية )س( إلى درجات الحرارة على مقياس كلفن )ك( اأ( حدد كال من المتغير المستقل والمتغير التابع وفس ر ذلك ب( أوجد المقطع س والمقطع ك وماذا يعني كل منهما في هذه الحالة مث ل كلا من المعادلت اآلتية بيانيا ا: ) 5 ص = س + 2 ) 6 ص = 4 س ) 7 س + 2 ص = 1- ) 8 - س = 5 - ص حل كل معادلة مما يأتي بيانيا ا: أوجد ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط اآلتية: )7 -( )8 5( ) 1 2 )2- ( )2-5( ) 1 )4 6( )- 6( ) 1 4 ) 15 اختيار من متعدد: أي مما يأتي يساوي ميل المستقيم المبين في الشكل اأ( - _1 ب( - ج( _1 د( ) 16 اختيار من متعدد: ماقيمة ر التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين )1 0( )ر ( يساوي 2 ج( 5 _ 2 اأ( د( - 2 _ 5 ب( ) 1 7 أوجد الحدود الثالثة التالية في المتتابعة: بي ن إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم ل وإذا كانت حسابية فما أساسها ) ) 1 9 ) 9 4 س + 2 = 0 ) = 6 - س ) س = 4 س + 16 الف سل 2: اختبار الف شل 81

82 تحليل الدوال الخطية فيما سبق در شت تمثيل الدوال الخطية بياني ا. واالآن اكتب المعادلت الخطية ب شيغها المختلفة واأمثلها بياني ا. اكتب معادلة الم شتقيم المار بنقطة معلومة ويوازي / يعامد م شتقيم ا معلوم ا. لماذا سفر: يختلف عدد الرحالت الجوية من شنة اإلى اأخرى, وبناء على البيانات ال شنوية لعدد الرحالت يمكن اإيجاد معدل التغير ال شنوي لتحديد النموذج الخطي الم شتعمل للتنبوؤ بعدد الرحالت في ال شنوات القادمة. 1 اطو الحافتين الصغيرتين من الورقة طولي ا بمقدار 4 سم لكل منها منظم اأفكار 2 اطو الورقة من المنتصف طولي ا وعرضي ا ثم افتح الطي وقص على طول خط الطي من األعلى إلى المركز تحليل الدوال الخطية اعمل هذه المطوية لتساعدك على تنظيم مالحظاتك حول تحليل الدوال الخطية مبتدئ ا بورقة A اطو النصف العلوي للورقة إلى األسفل ثم اطو الورقة من المنتصف إلى الخلف واقلبها لتشكل جيب ا مع الحواف السلفية سم 4 غالف المطوية بعنوان الفصل الف سل : الدوال تحليل الدوال الخطية الخطية والعالقات 82

83 التهيئة س س للف سل للف سللل س سخي س ت سخي س اال ستعداد: هناك بديالن للتأكد من فهمك للمهارات السابقة الضرورية : االأول البديل اختبار سريع أوجد قيمة أ أ ب + ج عند القيم المعطاة : أجب عن االختبار اآلتي انظر المراجعة السريعة قبل اإلجابة عن االختبار مراجعة سريعة أوجد قيمة: 2 )م - ن( + 2 ب عندما م = 5 ن = 2 ب =.- 2 )م - ن( + 2 ب العبارة األصلية = 2 5( )2-2 -( + ) عو ض عن م ن ب = 2 )( 2 -( + ) اطرح = )9(2 + -( ) أوجد قيمة القوة = 18 + )9-( اضرب = 9 اجمع )1 أ = 2 ب = 1 ج = 5 )2 أ = 1- ب = 0 ج = 11 ) أ = 5 ب = - ج = 9-4( ا ستئجار سيارة: تمثل تكلفة استئجار سيارة بالمعادلة ت = 49 س + 0. ص حيث يمثل س عدد األيام و ص عدد الكيلومترات أوجد تكلفة استئجار السيارة مدة 5 أيام لقطع مسافة 425 كلم حل كل معادلة فيما يأتي بالنسبة للمتغير المعطى: 5( س + ص = 5 بالنسبة ل ص مثال 1 حل المعادلة 5 س + 15 ص = 9 بالنسبة للمتغير س. 5 س + 15 ص = 9 6( 2 س - 4 ص = 6 بالنسبةل س )7 ص - 2 = س + بالنسبة ل ص 8( هند سة: إذا علمت أن قانون محيط المستطيل مح هو مح = 2 ل + 2 ض: ل = الطول ض = العرض فأوجد قيمة ض بداللة كل من ل مح مثال 2 المعادلة األصلية 5 س + 15 ص - 15 ص= ص اطرح 15 ص من الطرفين 5 س = 9-15 ص بس ط = 9-15 ص _ 5 س _ 5 5 9_ - ص بس ط 5 س = اقسم كل طرف 5 اكتب الزوج المرتب الذي يمثل النقطة أ. الخطوة 1: ابدأ من النقطة أ الخطوة 2: أنزل خط ا رأسي ا إلى المحور )س( فيكون اإلحداثي السيني هو -4 الخطوة : أنزل خط ا أفقي ا إلى المحور )ص( فيكون اإلحداثي الصادي هو 2 إذن الزوج المرتب للنقطة أ هو )-4 2( مثال اكتب الزوج المرتب الذي يمثل كل نقطة فيما يأتي: 9( أ 10( ب 11( ج 12( د 1( ه 14( و البديل الثاني أسئلة تهيئة إضافية على الموقع الف سل التهيئة للف شل 8

84 فيما سبق در شت معدل التغير والميل. واالآن اأكتب معادلة الم شتقيم ب شيغة الميل والمقطع, واأمث لها بياني ا. اأمث ل بيانات من واقع الحياة با شتعمال معادلت مكتوبة ب شيغة الميل والمقطع. المفردات شيغة الميل والمقطع تمثيل المعادالت المكتوبة ب سيغة الميل والمقطع بياني ا لماذا يحفظ جميل 500 بيت من الشعر وعندما اشترك في نادي الشعر بدأ بحفظ 0 بيت ا جديد ا كل شهر ولمعرفة عدد األبيات )ص( التي يحفظها بعد )س( شهر ا نكتب المعادلة: ص= 0 س+ 500 سيغة الميل والمقطع: يمكن كتابة أي معادلة خطية بصيغة الميل والمقطع على النحو: ص= م س+ ب حيث م الميل ب المقطع الصادي وأي تغيير في قيمة أي منهما يؤدي إلى تغيير التمثيل البياني للمعادلة مفهوم اأ سا سي التعبير اللفظي: مثال: ص= م س+ ب صيغة الميل والمقطع للمعادلة الخطية هي: ص= م س+ ب م = الميل ب = المقطع الصادي ص= 2 س+ 6 سيغة الميل والمقطع س س أ سففف اأ سف اإلى obeikaneducation.com الميل المقطع الصادي مثال 1 كتابة المعادلة وتمثيلها بياني ا 4 ومقطعه الصادي= -2 بصيغة الميل والمقطع ثم مث لها بيانيا ا. اكتب معادلة المستقيم الذي ميله _ ص = م س + ب صيغة الميل والمقطع 4 وعن ب ب )-2( 4 س + )-2( عو ض عن م ب _ ص = _ 4 س - 2 بس ط ص = _ واآلن مث ل المعادلة بياني ا 84 الف سل : تحليل الدوال الخطية الخطوة 1: عي ن النقطة )0-2( التي تمث ل المقطع الصادي _ تحر ك من النقطة )0-2( بمقدار وحدات إلى األعلى 4 الخطوة 2: الميل = المتغير الرأسي _ = المتغير األفقي و 4 وحدات إلى اليمين وعي ن النقطة الجديدة الخطوة : ارسم خط ا مستقيم ا يمر بهاتين النقطتين تحقق من فهمك اكتب معادلة المستقيم في كل مما يأتي بصيغة الميل والمقطع ثم مث لها بيانيا ا: 2 المقطع الصادي = 1 ب( الميل= - المقطع الصادي = 8-1 اأ( الميل=- 1_

85 إذا لم تكن المعادلة مكتوبة بصيغة الميل والمقطع فإن إعادة كتابتها بهذه الصيغة يسهل تمثيلها بياني ا مثال 2 مثل المعادلة س + 2 ص = 6 بيانيا ا. تمثيل المعادالت الخطية بياني ا أعد كتابة المعادلة بصيغة الميل والمقطع س + 2 ص= 6 المعادلة األصلية س + 2 ص - س = 6 - س اطرح س من كل طرفي المعادلة 2 ص= - 6 س بس ط 2 ص= - س س= 6+ )- س(= - س+ 6 اقسم كل طرف على 2 - س + 6 _ 2 ص _ = 2 2 _ س + صيغة الميل والمقطع 2 ص= - 2 والمقطع الصادي = واآلن مث ل المعادلة بياني ا الميل= -_ الخطوة 1: عي ن المقطع الصادي )0 ( الخطوة 2: الميل = المتغير الرأسي _ = 2 -_ تحر ك من النقطة )0 ( إلى المتغير األفقي األسفل وحدات ووحدتين إلى اليمين وعي ن النقطة الجديدة الخطوة : ارسم خط ا مستقيم ا يصل بين النقطتين تحقق من فهمك مث ل كل معادلة فيما يأتي بيانيا ا: 2 اأ( س - 4 ص = 12 2 ب( - 2 س + 5 ص = 10 اإر سادات للدرا سة المتغيرات التابعة: ص هو المتغير التابع ألنه يعتمد على التغير في س اإر سادات للدرا سة الميل واالتجاه: لتحديد النقطة الثانية التي يمر بها المستقيم انطالق ا من النقطة التي تمثل المقطع الصادي نستعمل الميل فإذا كان موجب ا فتحرك إلى األعلى وإلى اليمين وإذا كان سالب ا فإما أن يكون البسط سالب ا فتتحرك إلى األسفل وإما أن يكون المقام سالب ا فتتحرك إلى اليسار وفي كلتا الحالين نحصل على المستقيم نفسه بما أن ميل المستقيمات األفقية يساوي صفر ا لذا فمعادالت المستقيمات األفقية يمكن أن ت كتب بصيغة الميل والمقطع على الصورة: ص= 0 س+ ب أو ص= ب أما الخطوط المستقيمة الرأسية فليس لها ميل لذا ال يمكن كتابة معادالتها بصيغة الميل والمقطع مثال تمثيل المعادالت الخطية بياني ا مث ل المعادلة ص= - بيانيا ا. الخطوة 1 عي ن المقطع الصادي )0 -( الخطوة 2 الميل= 0 ارسم خط ا مستقيم ا يمر بالنقاط التي إحداثيها الصادي - تحقق من فهمك مث ل كل معادلة فيما يأتي بيانيا ا: اأ( ص = 5 ب( 2 ص = 1 الدر س 1-: تمثيل المعادلت المكتوبة ب شيغة الميل والمقطع بياني ا 85

86 الحظ أن معادالت المستقيمات األفقية ال تتضمن المتغير س وأن تمثيلها ال يقطع محور السينات ما عدا التمثيل البياني للمعادلة ص= 0 الذي ينطبق على محور السينات قد تحتاج أحيان ا إلى كتابة معادلة عرف تمثيلها البياني وإلجراء ذلك عي ن المقطع الصادي ثم استعمل الحركة أفقي ا ورأسي ا إليجاد نقطة أخرى على الشكل ثم اكتب المعادلة بصيغة الميل والمقطع مثال 4 من اختبار أي مما يأتي يمث ل معادلة المستقيم المبين في الشكل المجاور س + 1 اأ( ص = - س + 1 ج( ص = - _1 س + ب( ص = - س + د( ص = - _1 اإر سادات للختبار حذف البدائل )الخطاأ( حل ل التمثيل البياني وأوجد الميل والمقطع الصادي ثم احذف البدائل التي ال تتوافق مع الشكل اقراأ ال سوؤال: أنت بحاجة إلى معرفة كل من: الميل والمقطع الصادي للمستقيم من أجل كتابة معادلته حل ال سوؤال: الخطوة 1: بما أن المستقيم يقطع محور الصادات في النقطة )0 1( لذا فالمقطع الصادي يساوي )1( وتكون اإلجابة الصحيحة هي أ أو ج الخطوة 2: لالنتقال من النقطة )0 1( إلى ) 0( تحرك وحدة واحدة إلى األسفل وثالث وحدات _1 إلى اليمين فالميل يساوي - الخطوة : اكتب المعادلة: ص= م س+ ب _1 س+ 1 ص= - تحقق: يمر المستقيم بالنقطة )- 2( أيض ا وتكون هذه النقطة حال للمعادلة إن كانت صحيحة _1 س + 1 ص = )-( _ اإلجابة الصحيحة هي ج 2 = 2 تحقق من فهمك 4( أي مما يأتي يمثل معادلة المستقيم المبين في الشكل المجاور ج( ص = 4 س + 4 _1 س اأ(ص = _1 س د( ص = ب(ص = 4 س الف سل : تحليل الدوال الخطية تمثيل بيانات من واقع الحياة: يمكن تمثيل بيانات من واقع الحياة بمعادلة خطية إذا كان معدل تغيرها ثابت ا فالمعدل الثابت للتغير يمثل الميل والمقطع الصادي هو النقطة التي تكون عندها قيمة المتغير المستقل تساوي صفر ا

87 مثال 5 من واقع الحياة كتابة معادلة خطية وتمثيلها بياني ا مدار س: استعمل المعلومات الواردة إلى اليمين عن عدد طالبات المرحلة الثانوية في المملكة. اأ( اكتب معادلة خطية إليجاد عدد طالبات المرحلة الثانوية بعد عام 1427 ه. التعبير اللفظي الطالبات عدد يساوي معدل التغير في عدد السنوات زائد العدد في البداية المتغير ليكن ص= عدد الطالبات س= عدد السنوات منذ عام 1427 ه كان عدد طالبات المرحلة الثانوية في المملكة عام 1427 ه نحو 471 ألف طالبة وقد ازداد هذا العدد بمعدل 20 ألف طالبة تقريب ا كل سنة المعادلة ص المعادلة هي ص= 20 س = ب( مثل المعادلة بيانيا ا. المقطع الصادي هو نقطة البداية لذا فالمستقيم يمر بالنقطة )0 471( معدل التغير هو الميل لذا فالميل يساوي 20 ج( قد ر عدد الطالبات عام 147 ه. ص = 20 س اكتب المعادلة س = 20 )10( عو ض عن س ب )10( = 671 بس ط فيكون عدد طالبات المرحلة الثانوية عام 147 ه نحو 671 ألف طالبة تحقق من فهمك ( مهرجان خيري: بلغت تكلفة وجبات العشاء في مهرجان خيري 1160 رياال فإذا بيعت الوجبة الواحدة ب 5 رياالت اأ( اكتب معادلة تبين مقدار ربح المهرجان عند بيع )ن( وجبة ب( مث ل هذه المعادلة بياني ا ج( أوجد مقدار الربح إذا بيعت 800 وجبة اكتب معادلة كل مستقيم فيما يأتي بصيغة الميل والمقطع ثم مث لها بيانيا ا: _ المقطع الصادي: 1-4 ) 2 الميل: ) 1 الميل: 2 المقطع الصادي: 4 مثل كل معادلة فيما يأتي بيانيا ا: ) 4 2 س + ص = 6- ) - 4 س + ص = 2 اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم الممثل في كل مما يأتي: ) 6 ) 5 تاأكد مثال 1 المثاالن 2 مثال 4 الدر س 1-: تمثيل المعادلت المكتوبة ب شيغة الميل والمقطع بياني ا 87

88 ) 7 نقود: اشترى محمد أجهزة كهربائية بالتقسيط حيث دفع 750 رياال كدفعة أولى ويدفع 100 ريال كل أسبوع اأ( اكتب معادلة للمبلغ الكلي الذي سيدفعه بعد )س( أسبوع ا ب( مث ل المعادلة بياني ا ج( أوجد المبلغ الذي يدفعه محمد بعد 8 أسابيع مثال 5 تدرب وحل الم سائل مثال 1 اكتب معادلة كل مستقيم فيما يأتي بصيغة الميل والمقطع ثم مث لها بيانيا ا: ) 9 الميل: المقطع الصادي: -4 ) 8 الميل: 5 المقطع الصادي: 8 مث ل كل معادلة فيما يأتي بيانيا ا: ) 1 1 ص = 7 ) س + ص = 1 اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم الممثل في كل مما يأتي: ) 1 ) 1 2 المثاالن 2 مثال 4 88 الف سل : تحليل الدوال الخطية ) 1 4 المها العربي: المها العربي من الثدييات المعرضة لالنقراض وقد أنشأت المملكة عدة محميات للحفاظ عليها فكان عددها عام 1417 ه نحو 400 رأس وقد ازداد هذا العدد بمعدل 50 رأس ا تقريب ا كل سنة اأ( اكتب معادلة تمثل عدد المها في المملكة بعد )س( سنة منذ 1417 ه ب( مث ل المعادلة بياني ا ج( قد ر عدد المها عام 14 ه ) 1 5 اكتب معادلة المستقيم الذي ميله = - 7 _ ومقطعه الصادي: 2 _ س - بياني ا: 4 ) 1 6 مث ل المعادلة ص = اكتب معادلة كل مستقيم فيما يأتي بصيغة الميل والمقطع : ) 1 7 الميل: 1- المقطع الصادي: ) الميل: 1.5- المقطع الصادي: ) 1 9 اكتب معادلة المستقيم المار بنقطة األصل وميله مثال 5 ) 2 0 در اجات: يتقاضى محل لتأجير الدر اجات النارية 5 رياالت باإلضافة إلى 25 رياال عن كل ساعة اأ( اكتبمعادلة التكلفة الكلية الستئجاردراجةناريةمدة )س(ساعةبصيغة الميلوالمقطع ب( مث ل المعادلة بياني ا ج( ما تكلفة تأجير در اجتين مدة 8 ساعات

89 ) 2 1 مجلت: تم بيع نسخة من إحدى المجالت في سنتها األولى وازداد هذا العدد بعد ذلك بمعدل 5000 في السنة اأ( اكتب معادلة تمث ل عدد النسخ المبيعة )ن( بعد )ص( سنة ب( ماذا يمث ل الميل ج( ماذا يمث ل المقطع الصادي د( إذا بدأت المجلة سنة 1410 ه ففي أي سنة يصل عدد النسخ المبيعة إلى وفق المعدل نفسه ظهرت أول مجلة في المملكة عام 17 ه تحت اسم»قافلة الزيت«وكان يكتب فيها أدباء على مستوى العالم العربي م سائل مهارات التفكير العليا ) 2 2 م ساألة مفتوحة: اكتب موقف امنواقع الحياةيمكنتمثيلهبدالةخطية ثم اكتبهذهالدالة ومثلهابياني ا ) 2 تبرير: بين إذا كان من الممكن كتابة معادلة الخط الرأسي بصيغة الميل والمقطع أم ال وفس ر إجابتك ) 2 4 تحد: لخص الخصائص المشتركة للتمثيالت البيانية للمعادالت اآلتية: ص= 2 س+ ص= 4 س+ ص= -س+ ص = - 10 س + ) 2 5 اكتب: وضح كيف تجد معدل تغير معادلة بالصيغة القياسية تدريب على اختبار ) 2 6 يحتوي مخزن لإللكترونيات على س قرص ا مدمج ا فإذا بيع منها 50 قرص ا وأضيف إليها ص من األقراص فأي عبارة مما يأتي تمث ل عدد األقراص التي أصبحت موجودة في المخزن ) 2 7 تحتاج وصفة كعكة الفواكه إلى لترين من عصير البرتقال لكل 8 لترات من عصير الليمون فإذا استعملت فدوى 64 لتر ا من عصير الليمون فكم لتر ا من عصير البرتقال تم استعماله اأ( 2 ج( 16 ب( 24 د( 8 اأ( + 50 ص - س ج( س ص ب( س ص د( ص س مراجعة تراكمية ) 2 8 اكتب معادلة الحد النوني للمتتابعة الحسابية )الدر س -2 )6 ) 2 9 أوجد الحدين الرابع والخامس للمتتابعة )الدر س )6-2 أوجد ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط اآلتية: )الدر س 2-5( )4 2( )6 -( ) 1 )7 9 ( ) 2( ) 0 ) 2 حل المعادلة - 2 س = 6 )الدر س -1 ) الدر س 1-: تمثيل المعادلت المكتوبة ب شيغة الميل والمقطع بياني ا 89

90 كتابة المعادالت ب سيغة الميل والمقطع فيما سبق در شت تمثيل م شتقيم ع لم ميله ومقطعه ال شادي. واالآن اأكتب معادلة م شتقيم اإذا علم ميله ونقطة يمر بها ب شيغة الميل والمقطع. اأكتب معادلة م شتقيم علمت اإحداثيات نقطتين يمر بهما ب شيغة الميل والمقطع. المفردات التنبوؤ الخطي لماذا وصلت إيرادات المملكة عام 1427 ه إلى 147 مليار ريال وفي عام 140 ه إلى 410 مليارات ريال إن معرفة هذه المعلومات تمكنك من كتابة معادلة خطية تستطيع من خاللها التنبؤ بإيرادات المملكة في السنوات القادمة إذا افترضت أن اإليرادات تزداد بالمعدل نفسه سنوي ا كتابة معادلة م ستقيم علم ميله ونقطة يمر بها ب سيغة الميل والمقطع: يبين المثال أدناه طريقة كتابة معادلة مستقيم علم ميله ونقطة يمر بها بصيغة الميل والمقطع مثال 1 كتابة معادلة م ستقيم علم ميله ونقطة يمر بها ب سيغة الميل والمقطع اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة )2 1( وميله. حيث أ عطي في هذا المثال ميل المستقيم ولم يعط المقطع الصادي له لذا فإنك تحتاج إليجاده أوال الخطوة 1: أوجد المقطع الصادي obeikaneducation.com صيغة الميل والمقطع ص = م س + ب عو ض عن م ب وعن ص ب 1 وعن س ب 2 = 1 )2( + ب بس ط = ب اطرح 6 من كل طرف = ب - 6 بس ط -5 = ب الخطوة 2: اكتب المعادلة بصيغة الميل والمقطع صيغة الميل والمقطع ص = م س + ب عو ض عن م ب وعن ب ب -5 ص = س - 5 فتكون المعادلة هي: ص = س - 5 تحقق من فهمك 1( اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة )-2 5( وميله. كتابة معادلة م ستقيم علمت نقطتان يمر بهما: يمكنك استعمال نقطتين يمر بهما خط مستقيم إليجاد الميل أوال ثم اتباع الخطوات نفسها في المثال )1( لكتابة المعادلة 90 الف سل : تحليل الدوال الخطية

91 مثال 2 كتابة معادلة م ستقيم علمت نقطتان يمر بهما اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين ) 1( )2-4( : الخطوة 1: أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين م = س 2 ص - 2 س - 1 ص _1 صيغة الميل )4-2( = ) 2 2 ص ) 1 = ( )1 )س 1 ص 4- - _1 )س - 2 = _5- = 5 بس ط 1- = الخطوة 2: استعمل أي ا من النقطتين إليجاد المقطع الصادي ص = م س + ب صيغة الميل والمقطع -4 = )5()2( + ب عوض عن م ب )5( وعن س ب )2( وعن ص ب )-4( 4- = 10 + ب بس ط 4- - )10( = 10 + ب - )10( اطرح )10( من كل طرف اإر سادات للدرا سة اختيار نقطة عند إعطاء نقطتين على مستقيم يمكنك اختيار أي ) 1 1 ص منهما لتكون )س وتأكد من اتساق اختيارك خالل حل المسألة -14 = ب بس ط الخطوة : اكتب المعادلة بصيغة الميل والمقطع الصادي ص = م س + ب صيغة الميل والمقطع الصادي ص = 5 س + )-14( عوض عن م ب )5( وعن ب ب )-14( فتكون المعادلة هي: ص= 5 س -14 تحقق من فهمك اوجد معادلة المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط اآلتية: 2 اأ( 1-( )12 4(.)8-2 ب( 4-( )2-5-(.)6- مثال من واقع الحياة ا ستعمال سيغة الميل والمقطع ال سادي رحلت جوية: يبين الجدول المجاور معدل عدد الرحلت الجوية المغادرة ال سنة إلى إحدى عواصم البلدان خلل سنوات معينة. اكتب معادلة يمكنك استعمالها 2004 م للتنبؤ بعدد الرحلت المغادرة إذا استمرت الزيادة بالمعدل نفسه م افهم: تعلم عدد الرحالت الجوية في السنوات م 2006 م وتريد كتابة معادلة تساعدك في التنبؤ بعدد الرحالت المغادرة 2007 م خطط: افرض أن )س( تمثل السنوات منذ عام 2000 )ص( تمثل عدد الرحالت الجوية واكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين )78 6( )66 5( حل: أوجد الميل م عدد الرحلت _ ص - ص - 2 س 1 م = س 2 _ = صيغة الميل )78 6( = ) 2 2 ص ) 1 = 5( )66 و ( س 1 ص عو ض ( س = 1 12 بس ط _12 = الدر س 2-: كتابة المعادلت ب شيغة الميل والمقطع 91

92 اختر النقطة )6 78( وأوجد المقطع الصادي للمستقيم صيغة الميل والمقطع الصادي ص = م س + ب عو ض عن م ب 12 وعن س ب 6 وعن ص ب 78 = 78 12)6( + ب بس ط = ب اطرح 72 من كل طرف = 06 ب استعمل م = 12 ب = 06 لكتابة المعادلة صيغة الميل والمقطع الصادي ص = م س + ب عو ض عن م ب 12 وعن ب ب 06 ص = 12 س + 06 تحقق: تحقق من صحة الحل باستعمال إحداثيات النقطة األخرى المعادلة األصلية ص = 12 س + 06 عو ض عن س ب 5 وعن ص ب 66 12)5( تحقق من فهمك = بس ط ( رواتب: يتقاضى طالل أجرة أسبوعية قدرها 51 رياال مقابل ساعات عمله األساسية مضاف ا إليها ساعة عمل إضافية فإذا عمل األسبوع الماضي 5 ساعات إضافية وتقاضى مبلغ ا إجمالي ا قدره 415 رياال فاكتب معادلة خطية إليجاد أجرته الكلية )ج( إذا عمل )س( ساعة إضافية يمكنك استعمال المعادلة الخطية إلجراء تنبؤات حول القيم التي تتجاوز مدى البيانات وت سمى هذه العملية التنبؤ الخطي مثال 4 من واقع الحياة التنبوؤ با ستعمال سيغة الميل والمقطع رحلت جوية: استعمل المعادلة في المثال لتقدير عدد الرحلت الجوية عام 2012 م. ص = 12 س + 06 المعادلة األصلية = 12)12( + 06 عو ض عن س ب 12 = 450 بس ط التقدير المناسب لمعدل الرحالت الجوية يساوي 450 رحلة تحقق من فهمك تتنامى حركة النقل الجوي باطراد نتيجة الطفرات السريعة التي يشهدها هذا المجال الحيوي وتزداد الرحالت الجوية لمواكبة كثافة المسافرين خصوص ا في األعياد واإلجازات ومواسم الحج والعمرة 4( رواتب: استعمل المعادلة )الواردة في التحقق من فهمك ( للتنبؤ بالمبلغ المستحق الذي يتقاضاه طالل في األسبوع إذا عمل 8 ساعات إضافية 92 الف سل : تحليل الدوال الخطية

93 تاأكد ) 1 اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة )-4 6( وميله -2 ) 2 اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين 7-( )- -( )5 ص = 2 س+ 11 ) سكان: بلغ عدد سكان المملكة عام 1426 ه نحو 2.4 مليون نسمة ويزداد عددهم بمعدل 0.75 مليون نسمة سنوي ا اأ( اكتب معادلة خطية إليجاد عدد سكان المملكة )ك( بالماليين بعد )ص( سنة منذ 1426 ه ب( إذا استمرت الزيادة نفسها فكم يصبح عدد سكان المملكة عام 1440 ه مثال 1 مثال 2 المثاالن 4 تدرب وحل الم سائل مثال 1 اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة المعطاة والمعلوم ميله في كل مما يأتي : ) 4 ( 1 ( الميل = 2 ) 5 1-( 4 ( الميل = 1- ) 6 1( 0 ( الميل = 1 مثال 2 اكتب معادلة المستقيم المار بكل نقطتين فيما يأتي : ) 2-( )- 1-( ) 9 )7-0( ) 5-( ) 8 ) 4( )2-9( ) 7 ) 1 0 سيارات: يحرك سامي سيارة لعبة باستعمال جهاز التحكم عن بعد بسرعة ثابتة فبدأ بتحريك السيارة عندما كانت على ب عد 5 أقدام منه وبعد ثانيتين أصبح ب عدها 5 قدم ا اأ( اكتب معادلة خطية إليجاد بعد السيارة )ف( عن سامي بعد )ن( ثانية ب( قد ر المسافة التي تقطعها السيارة بعد 10 ثوان اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة المعطاة والمعلوم ميله في كل ممايأتي : _- 5 _- ) 1 4-( - 2 ( الميل = 4 _1 ) 1 2 4( 6 ( الميل = 2 ) 1 1 4( 2 ( الميل = المثاالن 4 اإر سادات لحل الم ساألة تحديد االإجابات المعقولة تحديد معقولية اإلجابة مفيد عندما ال يكون الجواب الدقيق ضروري ا ) 1 4 طلب: قد ر عدد خريجي الجامعات من حملة البكالوريوس في المملكة عام 1420 ه نحو 8 ألف طالب وطالبة ووصل هذا العدد عام 1424 ه إلى 5 ألف طالب وطالبة اأ( اكتب معادلة خطية إليجاد عدد الخريجين من حملة البكالوريوس )ك( بعد )ع( سنة من العام 1420 حيث ع = صفر في العام 1420 ه ب( مث ل المعادلة بياني ا ج( قد ر عدد الخريجين عام 146 ه ) 1 5 ناد ريا سي: يقدم ناد رياضي عرض ا للعضوية مقابل 265 رياال ودروس ا في التمارين الرياضية بمبلغ إضافي مقداره 5 رياالت لكل درس اأ( اكتب معادلة تمث ل التكلفة الكلية لعضو حضر س درس ا ب( إذا كان المبلغ الذي دفعه مالك 500 ريال في إحدى السنوات فما عدد دروس التمارين الرياضية التي حضرها الدر س 2-: كتابة المعادلت ب شيغة الميل والمقطع 9

94 اكتب معادلة المستقيم المار بكل نقطتين فيما يأتي : ) _1 6 _- 4 ( )1- _5 12 ( ) 1 7 ) _ 4 _1 4 -( )1 _5 4 ( ) 1 6 بي ن هل تقع النقطة على المستقيم الم عطاة معادلته وبين سبب ذلك. _1 س- 5 2 ) 1 9 6( )2- ص= _1 س+ 5 ) 1 8 ( )1- ص= يدعو ديننا اإلسالمي الحنيف إلى المحافظة على نظافة البيئة وتحريم تلويثها وإفسادها حتى ال تتأثر صحة اإلنسان وسائر المخلوقات سلب ا ) 2 0 بيئة: طب ق مصنع برنامج ا لتقليل النفايات ففي عام 1998 م كانت كمية النفايات 946 طن ا ثم بدأت تتناقص بعد ذلك بمعدل 28.4 طن ا سنوي ا اأ( كم طن ا تصل كمية النفايات عام 2010 م ب( في أي عام يصبح االستمرار في هذا االتجاه مستحيال وضح إجابتك ) 2 1 تمثيلت متعددة: ستكتشف في هذا السؤال العالقة بين ميلي المستقيمين المتعامدين 4 س+ 1 على ورقة رسم بياني اأ( بياني ا: مث ل المستقيم ص = _ ب( سكلي ا: ارسم مستقيم ا يعامد المستقيم المرسوم باستعمال مسطرة غير مدرجة ومنقلة ج( جبري ا: أوجد معادلة المستقيم الذي يتعامد مع المستقيم األصلي وصف الطريقة التي استعملتها لكتابة المعادلة د( تحليلي ا: قارن ميلي المستقيمين وصف العالقة بينهما 94 الف سل : تحليل الدوال الخطية م سائل مهارات التفكير العليا ) 2 2 اكت سف الخطاأ: كتب كل من أحمد وسمير معادلة المستقيم المار بالنقطتين ) -2( )6 4( فأيهما كانت إجابته صحيحة وضح السبب أحمد 2 = _6 = _ )2-( م = س = م س + ب 2- = )(2 + ب 2- = 6 + ب 8- = ب س = 2 س - 8 صمير 2 = _6 = _ )2-( م = س = م س + ب = 6 )4(2 + ب = ب 2- = ب س = 2 س - 2 ) 2 تحد : إذا كانت النقاط ) 7( )-6 1( )9 ه( تقع على المستقيم نفسه فأوجد قيمة ه وبي ن خطوات الحل ) 2 4 تبرير: افرض أن الصورة القياسية للمعادلة الخطية هي: أ س+ ب ص = ج اأ( أعد كتابة هذه المعادلة بصيغة الميل والمقطع ب( ما ميل المستقيم ج( ما قيمة المقطع الصادي

95 ) 2 5 م ساألة مفتوحة: اكتب مسألة من واقع الحياة تناسب التمثيل المجاور ثم عر ف المتغيرين وص ف العالقة بينهما واكتب معادلة تمثل هذه العالقة وصف معنى كل من الميل والمقطع الصادي ) 2 6 اكتب: ما المعلومات الضرورية لكتابة معادلة مستقيم وضح إجابتك تدريب على اختبار ) 2 7 يحصل ماجد على خصم نسبته 12 فإذا اشترى سلعة بمبلغ 55 رياال فما مقدار الخصم على هذا المبلغ ألقرب ريال اأ( 12 رياال ج( 6 رياال ب( 0 رياال د( 4 رياال ) 2 8 هند سة: في الشكل أدناه تم توصيل منتصفات أضالع المربع للحصول على مربع أصغر فما مساحة المربع المظلل اأ( 64 سم 2 ج( 248 سم 2 ب( 128 سم 2 د( 256 سم 2 مراجعة تراكمية ) 2 9 مث ل المعادلة: ص= س+ 2 بياني ا )الدر س 2- ( ) 0 اأر ساد جوية: ي عب ر عن المسافة )ف( باألميال التي يقطعها صوت الرعد )ن( بالثواني بالمعادلة: ف = 0.21 ن )الدر س -2( اأ( مث ل المعادلة بياني ا ب( استعمل التمثيل البياني لتقدير الزمن المستغرق بين حدوث الرعد وسماع صوته من مسافة أميال ن_ = 9 وتحقق من صحة الحل )الدر س -1( 9 ) 1 حل المعادلة: 14- ) 2 حل المعادلة: س = س + 1 )الدر س )4-1 الدر س 2-: كتابة المعادلت ب شيغة الميل والمقطع 95

96 كتابة المعادالت ب سيغة الميل ونقطة فيما سبق در شت كتابة المعادلت الخطية اإذا ع لم الميل ونقطة, اأو علمت نقطتان. واالآن أاكتب معادلت خطية ب شيغة الميل ونقطة. أاكتب معادلت خطية ب شيغ مختلفة. المفردات شيغة الميل ونقطة لماذا تهدف مسابقة الملك عبد العزيز الدولية لحفظ القرآن الكريم وتفسيره إلى التآخي والمحبة بين المتسابقين من شتى دول العالم اإلسالمي وقد رصدت لذلك مكافآت مجزية وقد بدأت هذه المسابقة عام 199 ه ب 55 مشارك ا وتزايد العدد خالل ثالثين عام ا بمعدل 156 مشارك ا سنوي ا ويمكنك التعبير عن عدد المشاركين في المسابقة سنوي ا بالمعادلة: ص= 156 س+ 55 حيث تمثل س عدد السنوات بعد عام 199 ه ص عدد المشاركين سيغة الميل ونقطة: يمكنك كتابة معادلة المستقيم بصيغة الميل ونقطة إذا علمت إحداثيات نقطة يمر بها وميله مفهوم اأ سا سي سيغة الميل ونقطة س س أ سففف اأ سف اإلى obeikaneducation.com ) 1 = 1 م )س- س التعبير اللفظي: تعبر المعادلة الخطية ص- ص عن معادلة المستقيم غير الرأسي بصيغة الميل ) 1 نقطة معطاة تقع على 1 ص ونقطة حيث )س المستقيم م ميل هذا المستقيم ) 1 = 1 م )س- س الرموز: ص- ص مثال 1 كتابة معادلة م ستقيم ب سيغة الميل ونقطة وتمثيلها بياني ا 4 بصيغة الميل ونقطة ثم مث لها بيانيا ا. اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة ) -2( وميله 1_ ) 1 صيغة الميل ونقطة = 1 م )س - س ص - ص =) ( )2- م = _ ص )س - ) ( س _1 4 ص - )2-( = 4 )س - ( بس ط ص + 2 = _1 وللتمثيل البياني عي ن النقطة ) -2( واستعمل الميل إليجاد نقطة أخرى على المستقيم ثم ارسم المستقيم الواصل بين هاتين النقطتين تحقق من فهمك 1( اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة )-2 1( وميله -6 بصيغة الميل ونقطة ثم مث لها بياني ا 96 الف سل : تحليل الدوال الخطية

97 سيغ المعادالت الخطية: إذا ع لم ميل المستقيم وإحداثيا نقطة أو ع لمت نقطتان فيمكنك كتابة المعادلة الخطية بإحدى الطرائق اآلتية: اإر سادات للدرا سة الميل : يظل الميل ثابت ا عند أي نقطتين على المستقيم ويمكن تسمية أي منهما ) 1 واألخرى 1 ص )س ) 2 2 ص )س ملخ س المفهوم كتابة المعادالت المعطى: الميل ونقطة 1 في المعادلة: 1 ص الخطوة 1: عو ضعنقيمم س ) 1 أو = 1 م )س - س ص - ص عو ض عن قيم م س ص في صيغة الميل والمقطع وحلها إليجاد قيمة ب الخطوة 2: أعد كتابة المعادلة بالصيغة المطلوبة المعطى: نقطتان الخطوة 1: أوجد الميل الخطوة 2: اختر إحدى النقطتين اإلى اأ سف الخطوة : اتبع الخطوات نفسها الواردة في كتابة معادلة المستقيم إذا ع لم الميل ونقطة مثال 2 ال سورة القيا سية لمعادلة م ستقيم )س - 5( بالصورة القياسية. _2 اكتب المعادلة ص - 1 = - _2 - )5 المعادلة األصلية ص - 1 = - )س ) )س - 5( اضرب كل طرف في العدد )( للتخلص من الكسر )ص - )1 = ( - _2 بس ط )ص - )1 = 2- )س - )5 خاصية التوزيع ص - = - 2 س + 10 أضف )( إلى كل طرف ص = - 2 س + 1 مراجعة المفردات ال سورة القيا سية للمعادلة الخطية هي أ س+ ب ص= ج أ 0 أ ب ال تساوي صفر ا مع ا أ ب ج أعداد صحيحة العامل المشترك األكبر لها يساوي 1 تحقق من فهمك 2 س + ص = 1 أضف 2 س إلى كل طرف )2 اكتب ص - 1 = 7 )س + )5 بالصورة القياسية إليجاد المقطع الصادي لمعادلة أعد كتابتها بصيغة الميل والمقطع مثال سيغة الميل والمقطع 2 )س + 1( بصيغة الميل والمقطع. اكتب المعادلة ص + = _ 2 )س + 1( المعادلة األصلية ص + = _ خاصية التوزيع اطرح من كل طرف س ص + = س ص = تحقق من فهمك ( اكتب المعادلة ص + 6 = - )س - 4( بصيغة الميل والمقطع الدر س -: كتابة المعادلت ب شيغة الميل ونقطة 97

98 ويفيد استعمال الصيغ المختلفة للمعادالت الخطية في موضوعات أخرى مثال 4 سيغة الميل ونقطة وال سورة القيا سية هند سة: يبين الشكل المجاور المربع أ ب ج د. اأ( اكتب معادلة المستقيم الذي يتضمن ج د بصيغة الميل ونقطة. الخطوة 1: أوجد ميل ج د م = س 2 ص - 2 س - 1 ص _1 صيغة الميل _2-5 = 1 )س ص ) = 4( )2 )س ص ) = 7( ) = اإر سادات للدرا سة الميل في المربع األضالع المتقابلة وغير الرأسية في المربع لها الميل نفسه وإذا كانت إحداثيات أحد الرؤوس غير معطاة فاستعمل ميل الضلع المقابل إليجادها الخطوة 2: عوض في صيغة الميل ونقطة ) 1 صيغة الميل ونقطة = 1 م)س - س ص - ص )2 4( = ) 1 1 ص ص - 2 = 1 )س - 4 ) ( س )5 7( = ) 1 1 ص أو: ص - 5 = 1 )س - 7 ) على اعتبار أن ( س ب( اكتب معادلة المستقيم نفسه بالصورة القياسية. ص - 5 = 1 )س - )7 المعادلة األصلية ص - 2 = )س - )4 ص - 5 = س - 7 خاصية التوزيع ص - 2 = س - 4 ص = س - 2 أضف 2 إلى كل طرف ص = 1 س س + ص= -2 اطرح - 1 س من كل طرف - س + ص = -2 س - ص = 2 اضرب كل طرف في )-1( س - ص = 2 تحقق من فهمك 4 اأ( اكتب معادلة المستقيم الذي يتضمن الضلع ب ج بصيغة الميل ونقطة 4 ب( اكتب معادلة المستقيم الذي يتضمن الضلع ب ج بالصورة القياسية تاأكد اكتب معادلة المستقيم في كل حالة مما يأتي بصيغة الميل ونقطة ثم مث لها بيانيا ا: _5 ) 2 يمر بالنقطة 2-( )8- وميله 6 ) 1 يمر بالنقطة 2-( )5 وميله 6- اكتب كل معادلة فيما يأتي بالصورة القياسية: )6 + _5 _7 - ) 4 ) ص + 7 = 5- )س + ) 5 ) ص + 2 = )س ) ص + 2 = 8 )س مثال 1 مثال 2 98 الف سل : تحليل الدوال الخطية

99 اكتب كل معادلة فيما يأتي بصيغة الميل والمقطع: _ + 5 ) 8 ) ص - 9 = س + 4 ) 6 ص - 10 = 4 )س + 6 ) 7 ) ص - 7 = - 4 )س مثال ) 9 هند سة: استعمل المثلث القائم ف ق ه لإلجابة عما يأتي: اأ( اكتب بصيغة الميل ونقطة معادلة المستقيم الذي يتضمن الضلع ق ه مثال 4 ب( اكتب معادلة المستقيم نفسه بالصورة القياسية تدرب وحل الم سائل اكتب معادلة المستقيم في كل حالة مما يأتي بصيغة الميل ونقطة ثم مث له بيانيا ا: ) 1 1 يمر بالنقطة 2( - 1 ( وميله - ) 1 0 يمر بالنقطة 5( ( وميله 7 ) 1 2 اكتب معادلة المستقيم األفقي المار بالنقطة )-6 0( بصيغة الميل ونقطة اكتب كل معادلة فيما يأتي بالصورة القياسية: _2 )س + )7 ) 1 ص - 10 = 2 )س - )8 4 ) 1 ص - 6 = - )س + )2 5 ) 1 ص + 4 = اكتب كل معادلة فيما يأتي بصيغة الميل والمقطع : _1 )س - )4 6 ) 1 6 ص - 6 = - 2 )س - )7 7 ) 1 ص + 5 = 6 )س + )7 8 ) 1 ص + 2 = ) 1 9 معتمد ا على الشكل الوارد في مثال اكتب 4 معادلة المستقيم الذي يتضمن الضلع أ د بصيغة الميل ونقطة ثم بالصورة القياسية اكتب معادلة المستقيم في كل من السؤالين اآلتيين بالصورة القياسية: ) 2 1 ص - = 2.5 )س )1+ _11 )س - )14 12 ) 2 0 ص + 8 = - ) 2 2 اكتب معادلة المستقيم الممثل في الشكل المجاور بصيغة الميل ونقطة ) 2 طق س: الضغط الجوي هو دالة خطية في االرتفاع فالضغط الجوي يساوي 598 ملمتر زئبق عند ارتفاع 1.8 كيلومتر ا ويساوي 577 ملمتر زئبق عند ارتفاع 2.1 كيلومتر ا اأ( اكتب صيغة الضغط الجوي على صورة دالة في االرتفاع - ب( ما االرتفاع بالكيلومترات الذي تساوي عنده قيمة الضغط الجوي 657 ملمتر زئبق مثال 1 مثال 2 مثال مثال 4 ينخفض الضغط الجوي وتقل كمية األكسجين كلما ارتفعنا إلى األعلى ويسب ب التعرض للضغط الجوي المنخفض لفترات طويلة أمراض ا معينة الدر س -: كتابة المعادلت ب شيغة الميل ونقطة 99

100 م سائل مهارات التفكير العليا ) 2 4 اكت سف الخطاأ: يكتب كل من أنس وأيمن معادلة المستقيم المار بالنقطتين ) -7( )-6 4( بصيغة الميل ونقطة فأيهما إجابته صحيحة فس ر ذلك أن س 9 ) س + ) س - 7 = - _11 أيمن _9 ) س + )6 11 س 4 = - ) 2 5 تبرير: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين )-4 8( ) -7( وما ميله وأين يقطع كال من محوري السينات والصادات ) 2 6 تحد : اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين )ف ج( )ه ي( بصيغة الميل ونقطة ) 2 7 م ساألة مفتوحة: صف موقف ا من واقع الحياة يتضمن معدال ثابت ا للتغير وقيمة للمتغير ص تقابل قيمة محددة للمتغير س ومث ل هذا الموقف باستعمال معادلة خط مستقيم بصيغة الميل ونقطة وبصيغة الميل والمقطع ) 2 8 اكتب: وضح كيف يمكنك استعمال صيغة الميل لكتابة معادلة مستقيم بصيغة الميل ونقطة ) 2 9 يتكون فصل دراسي من 25 طالب ا منهم عيونهم خضراء و 18 سوداء و 4 عسلية فإذا اختير أحد هؤالء الطالب عشوائي ا فما احتمال أال تكون عيناه خضراوين ) 0 أي العبارات اآلتية يمثلها الشكل أدناه اأ( ب( تدريب على اختبار لديك 100 ريال وتصرف منها 5 رياالت أسبوعي ا لديك 100 ريال وتوفر 5 رياالت أخرى أسبوعي ا ج( د( تحتاج 100 ريال لشراء جهاز وتوفر 5 رياالت أسبوعي ا تحتاج 100 ريال لشراء جهاز وتصرف 5 رياالت أسبوعي ا _ 25 اأ( _ 22 ب( _22 25 ج( _1 25 د( مراجعة تراكمية ) 1 اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين )4 2( )-2-4( بصيغة الميل والمقطع )الدر س 2-( ) 2 اكتب معادلة المستقيم الذي ميله -2 ومقطعه الصادي 6 بصيغة الميل والمقطع )الدر س 1-( ) م سرح مدر سي: يحتوي مسرح على 7 صفوف من المقاعد المرتبة على شكل متتابعة حسابية كما في الجدول المجاور فإذا حضر الحفل 86 شخص ا فهل يكون المسرح قد تجاوز ما يستوعبه )الدر س 6-2( ال سف ال شابع ال شاد ص اخلام ص عدد المقاعد الف سل : تحليل الدوال الخطية

101 الم ستقيمات المتوازية والم ستقيمات المتعامدة فيما سبق در شت كتابة المعادلت الخطية ب شيغة الميل ونقطة. واالآن أاكتب معادلة الم شتقيم المار بنقطة معطاة ويوازي م شتقيم ا معلوم ا. أاكتب معادلة الم شتقيم المار بنقطة معطاة ويعامد م شتقيم ا معلوم ا. المفردات الم شتقيمان المتوازيان الم شتقيمان المتعامدان لماذا عند النظر إلى المربعات والمستطيالت والمستقيمات في اللوحة الفنية المجاورة تجد أن بعض الخطوط المستقيمة تتقاطع لتكو ن زوايا قائمة وبعضها اآلخر ال يتقاطع أبد ا الم ستقيمان المتوازيان: المستقيمان الواقعان في المستوى نفسه وال يقطع أحدهما اآلخر يسميان مستقيمين متوازيين ويكون لهما الميل نفسه إذا كان للمستقيمين غير الرأسيين في المستوى الميل نفسه فهما متوازيان جميع المستقيمات الرأسية متوازية ولكتابة معادلة مستقيم علمت إحدى نقاطه ومعادلة مستقيم آخر يوازيه أوجد أوال ميل المستقيم المعلوم ثم عوض الميل والنقطة المعطاة في المعادلة العامة للمستقيم بصيغة الميل ونقطة obeikaneducation.com مثال 1 الم ستقيم المار بنقطة معطاة ويوازي م ستقيم ا معلوم ا اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة )- 5( والموازي للمستقيم ص= 2 س - 4. الخطوة 1: بما أن ميل المستقيم ص= 2 س- 4 يساوي 2 فإن ميل المستقيم الموازي له يساوي 2 أيض ا الخطوة 2: أوجد المعادلة العامة للمستقيم بصيغة الميل والمقطع ص - ص = 1 م)س - س ) 1 صيغة الميل ونقطة ص - 5 = 2 ]س - ])-( عو ض عن م ب )2( وعن )س 1 ص ) 1 ب -( )5 ص - 5 = 2 )س + ) بس ط ص - 5 = 2 س + 6 خاصية التوزيع ص = 2 س أضف )5( إلى كل طرف. ص = 2 س + 11 بس ط. معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع هي: ص= 2 س+ 11 تحقق من فهمك 1( اكتب بصيغة الميل ونقطة معادلة المستقيم المار بالنقطة )4-1( والموازي للمستقيم 4 س+ 7 ص= 1_ الدر س 4-: الم شتقيمات المتوازية والم شتقيمات المتعامدة 101

102 الم ستقيمان المتعامدان: المستقيمان اللذان يتقاطعان مكو ني ن زوايا قوائم يسميان مستقيمين متعامدين ويكون ميل كل منهما معكوس مقلوب اآلخر فمثال إذا كان ميل أحدهما 4 فإن ميل المستقيم العمودي 4 عليه يساوي - 1_ مراجعة المفردات معكو س المقلوب معكوس مقلوب العدد هو - ب أ_ أ_ ب الخطوط األفقية والخطوط الرأسية متعامدة إذا كان ناتج ضرب ميلي مستقيمين غير رأسيين يساوي -1 فهما متعامدان باستعمال الميل يمكنك تحديد هل المستقيمين متعامدين أم ال مثال 2 من واقع الحياة ميل الم ستقيمين المتعامدين ت سميم: يبين الشكل اآلتي مخطط ا لشعار إحدى الشركات ممثل على المستوى اإلحداثي: اأ( هل د ف ي قائمة إذا كان الضلعان ب ي أ د متعامدين فإن د ف ي تكون قائمة أوجد ميل كل من ب ي أ د _2-5 = _ ميل ب ي = _5 2 = _ ميل أ د = فالضلعان متعامدان إذن د ف ي قائمة -1 = 2 _5 5 بما أن -2_ ب( هل كل ضلعين متقابلين في الشكل أ ج ل ي متوازيين إذا كان الضلعان المتقابالن متوازيين فإن لهما الميل نفسه 1_) - 6 غيرمعرف ( لذا أ ج ل ي رأسيان 7-7 1_ - 6 ( غير معرف( وميل ل ي = 2-2 ميل أ ج = ويوازيان محور الصادات وبالتالي فهما متوازيان 1_ - 1 = 0 لذا فالضلعان ج ل أ ي أفقيان ويوازيان محور 2-7 _6-6 = 0 وميل أ ي = 2-7 ميل ج ل = السينات وبالتالي فهما متوازيان تحقق من فهمك 2( اإن ساءات: تظهر على واجهة منزل عارضتان خشبيتان م ث لت إحداهما بالقطعة المستقيمة ك ر التي طرفاها ك )-6 2( ر )-1 8( وم ث لت العارضة المتصلة بها بالقطعة المستقيمة س ت التي طرفاها س )- 6( ت )-8 5( فهل هاتان العارضتان متعامدتان وضح إجابتك 102 الف سل : تحليل الدوال الخطية يمكنك أن تحدد إذا كان المستقيمان الممثالن بياني ا متوازيين أم متعامدين بمقارنة ميليهما

103 مثال الم ستقيمات المتوازية والم ستقيمات المتعامدة حدد إذا كانت التمثيلت البيانية للمستقيمات اآلتية متوازية أم متعامدة وفسر إجابتك: ص= 5 س= ص= - 2 س+ 1 مث ل كل معادلة على المستوى اإلحداثي من التمثيل البياني يمكنك مالحظة أن المستقيم ص= 5 يوازي محور السينات وأن المستقيم س= يوازي محور الصادات لذا فهما متعامدان وال يتوازى أي مستقيمين من الثالثة تحقق من فهمك ( حدد إذا كانت التمثيالت البيانية للمستقيمات اآلتية متوازية أم متعامدة وفسر إجابتك : 6 س- 2 ص= -2 ص= س- 4 ص= 4 قراءة الريا سيات التوازي والتعامد يستعمل الرمز // للداللة على التوازي والرمز للداللة على التعامد يمكنك كتابة معادلة المستقيم المار بنقطة معطاة ويعامد مستقيم ا آخر علمت معادلته مثال 4 الم ستقيم المار بنقطة معطاة ويعامد م ستقيم ا معلوم ا اإر سادات للدرا سة تمثيل الم ساألة بياني ا مث ل معادلة المستقيم المعلوم على ورقة رسم بياني ثم عين النقطة المعطاة واستعمل مسطرة لرسم المستقيم العمودي المار بالنقطة المعطاة اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة )-4 6( والمعامد للمستقيم 2 س+ ص= 12 بصيغة الميل والمقطع. الخطوة 1: أوجد ميل المستقيم المعطى بإيجاد قيمة ص 2 س + ص = 12 المعادلة األصلية 2 س - 2 س + ص = - 2 س + 12 اطرح 2 س من كل الطرفين ص = - 2 س + 12 بس ط - 2 س + _12 ص _ = اقسم كل طرف على س + 4 بس ط. ص = - _2 _2- الميل = _ 2_ أي 2 الخطوة 2: ميل المستقيم المعامد للمستقيم المعطى هو معكوس مقلوب العدد - أوجد معادلة المستقيم العمودي ص - ص = 1 م)س - س ) 1 صيغة الميل ونقطة _ = )س - )4-( ) ( س 1 ص ) 1 = )6 4-( م 2 _ 2 ص - 6 = _ )س + 4( بس ط 2 ص - 6 = 2 س طبق خاصية التوزيع ثم أضف 6 إلى كل طرف ص - 6 = 6 + _ 2 س + 12 بس ط. ص = _ س+ 12 معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع هي: ص= 2_ تحقق من فهمك س - 1 بصيغة الميل 4( اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة )4 7( والمعامد للمستقيم ص = 2_ والمقطع الدر س 4-: الم شتقيمات المتوازية والم شتقيمات المتعامدة 10

104 ملخ س المفهوم الم ستقيمات المتوازية والم ستقيمات المتعامدة اأ سف اإلى النوع التعبير اللفظي: التعبير بالرموز: الم ستقيمات المتوازية يكون المستقيمان غير الرأسيين متوازيين إذا تساوى ميالهما أ ب // ج د الم ستقيمات المتعامدة يكون المستقيمان غير الرأسيين متعامدين إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1 ه و ف ي نماذج: تاأكد اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة المعطاة والموازي للمستقيم المعطاة معادلته في كل مما يأتي بصيغة الميل والمقطع : ) 2 0( )4 ص = - 4 س + 5 _1 س - 2 ) 1 1-( )2 ص = ) حدائق: حديقة على شكل مضلع رباعي رؤوسه: أ ( 2- )1 ب ( )- ج 5( )7 د )- 4( يقطعها الممران أ ج ب د فهل هذان الممران متعامدان فس ر إجابتك ) 4 هند سة: المربع هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان وكل ضلعين متجاورين متعامدان وقطراه متعامدان أيض ا حد د إذا كان الشكل الرباعي ف ي ه ل مربع ا أم ال وفسر إجابتك مثال 1 مثال 2 حدد إذا كانت التمثيلت البيانية للمستقيمات في كل من السؤالين 6 5 متوازية أم متعامدة وفسر إجابتك. 2 س 2 س ص = س ص = - _1 )5 ص = - 2 س 2 ص = س 4 ص = 2 س + 4 )6 ص = _1 اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة المعطاة والمعامد للمستقيم المعطاة معادلته في كل مما يأتي : مثال مثال الف سل : تحليل الدوال الخطية 2 س - 4 )8 1-( )4 ص = س + 5 )7 2-( ) ص = - _1

105 تدرب وحل الم سائل اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة المعطاة والموازي للمستقيم المعطاة معادلته في كل مما يأتي: ) 1 0 0( )2 ص = 5- س + 8 ) 9 4( )- ص = س - 5 ) 1 2 9( )12 ص = 1 س - 4 _ س ) ( ) ص = - مثال 1 مثال 2 ) 1 هند سة: يمثل الشكل ج د ه و طائرة ورقية هل قطراها متعامدان فسر إجابتك ) 1 4 هند سة: شبه المنحرف هو شكل رباعي فيه ضلعان متوازيان فقط فهل الشكل أ ب ج د شبه منحرف فسر إجابتك 1_ س متعامدين أم ال وفسر إجابتك 6 ) 1 5 حد د إذا كان المستقيمان ص= - 6 س+ 4 ص= حد د إذا كانت التمثيلت البيانية للمستقيمات في كل من السؤالين متوازية أم متعامدة وفسر إجابتك: ) س - 8 ص = 24-4 س + ص = 2- س - 4 ص = 4 ) 1 7 س - 9 ص = 9 ص = س س - 6 ص = 12 اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة والمعامد للمستقيم المعطاة معادلته في كل مما يأتي: _1 س + 6 _1 س - ) ( )5 ص = 2 ) 1 8 -( )2- ص = - 2 س () 1 9 )2 ص= 1_ س - 4 والمار بمقطعه السيني بصيغة الميل والمقطع 2 ) 2 1 اكتب معادلة المستقيم المعامد للمستقيم ص = - مثال مثال 4 حد د إذا كان المستقيمان في كل مما يأتي متوازيين أم متعامدين أم غير ذلك: ) 2 2 ص = 4 س + ) 2 ص = - 2 س ) 2 4 س + 5 ص = 10 4 س + ص = 2 س + ص = 5 س - ص = 6- ) 2 5 اكتب معادلة المستقيم الموازي للمستقيم ص= 7 س- والمار بنقطة األصل يجمع علماء اآلثار القطع األثرية ويحللونها للحصول على معلومات عن الحضارات القديمة ويتميزون بالكفاءة والدقة والقدرة على الربط بين اآلثار وصوال إلى النظريات والحقائق العلمية ) 2 6 علم االآثار: وجد عالم آثار في منطقة ما قطعة فخارية عند النقطة )2 6( وقطعة معدنية عند النقطة )4-1( فهل يتعامد المستقيم المار بكل من القطعة الفخارية والقطعة المعدنية مع المستقيم المار بالنقطتين 7( )10 14( 12 ( فسر إجابتك ) 2 7 ت سميم: أنشأ عبدالله تصميم ا باستعمال برنامج حاسوبي حيث رسم قطعة مستقيمة تمر بالنقطتين )-2 1( )4 ( ثم قطعة أخرى تمر بالنقطتين )2-7( )8 -( فهل تصلح هذه النقاط لتكون رؤوس ا لمستطيل فسر إجابتك الدر س 4-: الم شتقيمات المتوازية والم شتقيمات المتعامدة 105

106 ) 2 8 تمثيلت متعددة: ستكتشف في هذه المسألة المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة اأ( بياني ا: مث ل النقاط أ)- ( ب) 5( ج )-4 0( على المستوى اإلحداثي ب( تحليلي ا: حد د إحداثيات النقطة الرابعة د ليتشكل متوازي أضالع من النقاط األربع وفس ر إجابتك م سائل مهارات التفكير العليا ) 2 9 تحد : إذا وازى المستقيم المار بالنقطتين )-2 4( )5 د( المستقيم ص= س+ 4 فما قيمة د ) 0 تبرير: هل المستقيم األفقي يعامد المستقيم الرأسي أحيان ا أم دائم ا أم ال يعامده أبد ا فسر إجابتك ) 1 م ساألة مفتوحة: مث ل بياني ا مستقيم ا يوازي المستقيم ص= 2 س- 1 ومستقيم ا آخر يعامده 1_ س+ 2 والمار ) 2 اكت سف الخطاأ: يحاول فيصل وأسامة إيجاد معادلة المستقيم العمودي على المستقيم ص= بالنقطة )- 5( فأيهما إجابته صحيحة فس ر إجابتك أ صامة س 5 = ] س ])-( س 5 = ( س + ) س = س س = - س + 14 في صل س 5 = - ] س ])-( س 5 = - ( س + ) س = - س س = - س - 4 ) اكتب: وضح كيف يمكنك أن تحدد إذا كان مستقيمان معطيان متوازيين أم متعامدين تدريب على اختبار ) 4 أي نقطتين فيما يأتي يمر بهما مستقيم يوازي مستقيم ا ) 5 اإجابة ق سيرة: يمأل خالد بركة ماء سعتها 6000 جالون بمعدل ثابت وبعد 4 ساعات كان في البركة 800 جالون فما عدد الساعات الالزمة لملء البركة كاملة _ 4 ميله ج( 0( )0 0( )2- اأ( 0( )5 4-( )2 د( 0( )2-4-( )2- ب( 0( )2 4-( )1 مراجعة تراكمية اكتب كل معادلة مما يأتي بالصورة القياسية: )الدر س -( ) 8 ص + = 5- )س + )1 ) 6 ص - 1 = 4 )س - )2 7 ) ص - 5 = 2- )س + )2 ) 9 تاأجير قوارب: استأجر محمود ورفاقه قارب ا لمدة ساعات مقابل 90 رياال )الدر س 2-( اأ( اكتب معادلة خطية إليجاد التكلفة الكلية )ك( الستئجار القارب مدة )ه( ساعة ب( كم رياال يكلف استئجار القارب مدة 8 ساعات ) 4 0 مث ل المستقيم ص = س - 2 بياني ا )الدر س )1- ) 4 1 أوجد المقطعين السيني والصادي للمستقيم ص+ 2 س= 8 )الدر س -2( 106 الف سل : تحليل الدوال الخطية

107 اختبار الف سل 2 )س- 5( على الصورة القياسية )9 اكتب المعادلة ص+ = _1 اكتب بصيغة الميل والمقطع كل معادلة فيما يأتي: )10 ص - = 4 )س + ) اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم الممثل بيانيا ا في الشكل اآلتي: )1 2 )س - )8 )11 ص + 1 = _1 )12 ص + 4 = 7- )س - ) مث ل بيانيا ا كلا من المعادلتين اآلتيتين : 1( بين إذا كان المستقيمان : 2 ص = - متوازيين أم متعامدين ص= - 6 س+ س+ 8 1_ أم غير ذلك وفس ر إجابتك اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة المعطاة والمعامد للمستقيم المعطاة معادلته في كل مما يأتي: س - 2 )2 ص = 2 س + ) ص = _1 4( قوارب: اكتب بصيغة الميل والمقطع المعادلة التي تمثل تكلفة استئجار قارب )ص( واستعماله مدة )ن( ساعة س - 5 )14 ( )4- ص = - _1 )15 0( )- ص = - 2 س + 4 اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة المعطاة والموازي للمستقيم المعطاة معادلته في كل مما يأتي بصيغة الميل والمقطع: )16 4-( ) س + 5 ص = 6- )17 1-( )4- -س - 2 ص = 0 18( اختيار من متعدد: ثمن وجبة الطعام في أحد المطاعم 12 رياال مضاف ا إليها 2.50 ريال لكل نوع إضافي من المقبالت أي المعادالت اآلتية تمثل ثمن وجبة طعام مع العدد)ت( من المقبالت اأ( ص= 12 ت ج( ص= ت ب( ص= ت د( ص= 2.50 ت -12 اكتب بصيغة الميل ونقطة معادلة المستقيم في كل مما يأتي: )5 2( )5 الميل 2 )6 -( )1- الميل _1 )12 1( )4 -( )7 8( اختيار من متعدد: ما معادلة المستقيم المار بالنقطة )0 0( وميله = -4 ج( ص = - 4 س اأ( ص = س - 4 د( ص = 4 - س ب( ص = 4- س + 4 الف سل اختبار الف شل 107

108 اختبار تراكمي )1( اختيار من متعدد ) ميل المستقيم المار بالنقطتين 0( )5 6( )2 يساوي: ج( 2 2 _ 1 اأ( د( -2 ب( - 1 _ 2 اقرأ كل سؤال فيما يأتي ثم اختر رمز اإلجابة الصحيحة: 1( إذا كان للمستقيم ميل موجب ومقطع صادي سالب فماذا يحدث للمقطع السيني إذا زاد كل من الميل والمقطع الصادي إلى مثليه اأ( يصبح المقطع السيني أربعة أمثال األصلي ب( يصبح المقطع السيني مثلي األصلي = 12 5 هو: 4( حل المعادلة: س _ ج( 17 5 _ 12 اأ( _5 12 د( 60 ب( 4 األصلي ج( يصبح المقطع السيني 1_ د( يبقى المقطع السيني كما هو )5 حل المعادلة: 9- = ت + 6 هو: اأ( -15 ج( -5 ب( - د( 5 2( يبين الجدول أدناه العالقة بين درجات الحرارة السيليزية والفهرنهايتية فأي المعادالت الخطية اآلتية تمثل هذه العالقة الدرجات ال سيليزية ) س( الدرجات الفهرنهايتية )ف( )6 حل المعادلة: )ب + )4 = هو: اأ( 7 ج( ب( 11 د( 26 5 س س + 5 ج( ف = _9 اأ( ف = 8_ 5 س س + 42 د( ف = _12 ب( ف = 4_ 108 الف سل : تحليل الدوال الخطية

109 الف سول: - 1 اإجابة ق سيرة أجب عن األسئلة اآلتية: 7( مث ل الدالة ص= 2 س + بياني ا 8( وض ح كيف تحدد إذا كان مستقيمان متوازيين أم متعامدين اإجابة مطولة أجب عن كل سؤال موضح ا خطوات الحل: 15( منطاد على ارتفاع 60 قدم ا فوق األرض بدأ الصعود بمعدل 15 قدم ا في الدقيقة اأ( كون جدوال يبين ارتفاع المنطاد بعد انقضاء دقائق ب( لتكن )ن( تمثل الزمن بالدقائق منذ بداية صعود المنطاد اكتب معادلة يمكن استعمالها إليجاد االرتفاع )ع( للمنطاد بعد )ن( دقيقة 9( حل المعادلة 2 )س- 1 ( =8 إذا كانت مجموعة التعويض هي: } { 10( اكتب كال من مجال ومدى العالقة: } )6 4( )5 ( )4 2( ) 1( { ج( استعمل المعادلة التي كتبتها وأوجد ارتفاع المنطاد في الفرع ب لتجد االرتفاع باألقدام للمنطاد بعد 8 دقائق من بدء صعوده 11( حدد إذا كانت العالقة اآلتية دالة أم ال وفسر إجابتك: } )0 0( )1 2( )2 4( ) 6( )4 8( { )12 حل المعادلة: س - 6 = 11 1( حل المعادلة: 25 س = 5 س 14( اكتب المعادلة: 25 س = 5 س بالصورة القياسية للم ساعدة اإذا لم تجب عن ال سوؤال فراجع الدر س.. الف سل : اختبار تراكمي )1( 109

110 المتباينات الخطية فيما سبق در شت حل المعادلت الخطية. واالآن أاحل متباينات ذات خطوة واحدة, واأخرى متعددة الخطوات. أاحل متباينات مركبة, واأخرى تت شمن القيمة المطلقة. لماذا مياه: تعاني دول مجل ص التعاون لدول الخليج العربي من ندرة مياه ال شرب ب شبب نق ص كميات الأمطار ال شنوية. وت شير الإح شاءات اإلى اأن معدل الأمطار ال شنوي يتراوح بين 70 اإلى 10 ملمتر ا, با شتثناء ال شال شل الجبلية في الجنوب الغربي للمملكة العربية ال شعودية وجنوب ع مان التي قد ي شل معدل الأمطار في كل منها اإلى اأكثر من 500 ملم. 1 اطو جانبي الورقة طولي ا بحيث تلتقي الحافتان في الوسط منظم اأفكار 2 اعد طي الورقة نصفين المتباينات الخطية اعمل هذه المطوية لتساعدك على تنظيم مالحظاتك حول المتباينات الخطية مبتدئ ا بورقة A4 افتح الورقة وقص كال من الطرفين على خط الطي العرضي حتى تصل إلى الخط الرأسي سم 4 الطيات األربع بأرقام الدروس 110 الف سل 4: المتباينات الخطية

111 التهيئة س س للف سل للف سللل 4 س سخي س ت سخي س اال ستعداد: هناك بديالن للتأكد من فهمك للمهارات السابقة الضرورية : االأول البديل اختبار سريع أوجد قيمة كل من العبارتين اآلتيتين عند القيم المعطاة بجوارهما : )1 س + ص إذا كانت س = 4- ص = 2 )2-2 م + ك إذا كانت م = 8- ك = ( سيارات: تمثل العبارة ف كلم _ معدل استهالك الوقود ل لتر في السيارة احسب )ألقرب جزء من عشرة( معدل استهالك سيارة للوقود إذا استهلكت 12 لتر ا من البنزين عندما قطعت 95 كلم أجب عن االختبار اآلتي انظر المراجعة السريعة قبل اإلجابة عن االختبار مثال 1 مراجعة سريعة أوجد قيمة - س س - 6 إذا كانت س = س س - 6 المعادلة األصلية = )2-(- 2 )2-( عو ض س = 2- = )4(- + )2-(4-6 احسب القوة = )8-( - 6 اضرب = -26 اجمع واطرح حل المعادلة: - 2 )س - )4 = 7 س )س - )4 = 7 س - 19 المعادلة األصلية - 2 س + 8 = 7 س - 19 خاصية التوزيع - 2 س س = 7 س س أضف 2 س = 8 9 س - 19 بس ط = س أضف 19 = 27 9 س بس ط = س مثال 2 حل المعادلة : س - 4 =.9 حل كلا من المعادلت اآلتية: اقسم كل الطرفين على 9 )4 س + 8 = - )5 4 س = 16- = 7 )7 2 س + 1 = 9 )6 س _ )8 9 س + 2 = س - 10 )9 )س - )2 = - 2 )س + )1 10( نقود: في حصالة صالح 25 رياال ويرغب في أن يدخر 100 ريال كل شهر اكتب معادلة إليجاد المبلغ )م( الذي سيصبح معه بعد )ن( شهر ا إذا كانت س - 4 = 9 فإما أن تكون س - 4 = 9 أو س - 4 = 9- س = س = س = 1 س = 5- مثال إذن مجموعة الحل: }-5 1{ حل كلا من المعادلتين اآلتيتين: )11 س + 11 = 18 )12 س - 2 = 16 1( درا سة: في دراسة مسحية وجد أن 72 من األشخاص يفضلون قراءة الكتب الدينية فإذا كانت نسبة الخطأ في النتائج 2 فما الحدان األدنى واألعلى للنسبة المئوية للذين يفضلون قراءة الكتب الدينية البديل الثاني أسئلة تهيئة إضافية على الموقع الف سل 4: التهيئة لف شل 111 4

112 حل المتباينات بالجمع اأو بالطرح فيما سبق در شت حل معادلت خطية با شتعمال الجمع والطرح. واالآن أاحل متباينات خطية با شتعمال الجمع. أاحل متباينات خطية با شتعمال الطرح. المفردات ال شفة المميزة للمجموعة لماذا تبين المعلومات الواردة في الجدول أدناه أن المخصصات اليومية المقترحة من السعرات الحرارية للذكور الذين تتراوح أعمارهم بين سنة تقل عن الكمية المقترحة للذين تتراوح أعمارهم بين سنة ال سعرات الحرارية العمر سنة العمر سنة < 2220 إذا أكل شخص عمره 1 سنة وشخص عمره 16 سنة طعام ا يحتوي كمية من السعرات تزيد ب 150 سعر ا على الكمية المقترحة لكل منهما فإن كمية السعرات الحرارية التي حصل عليها الذي عمره 1 سنة تبقى أقل من التي حصل عليها الذي عمره 16 سنة < 270 حل المتباينات با ستعمال الجمع يوضح هذا المثال خاصية الجمع للمتباينات مفهوم اأ سا سي خا سية الجمع للمتباينات التعبير اللفظي: إذا أضيف العدد نفسه إلى كل من طرفي متباينة صحيحة فإن المتباينة الناتجة تبقى صحيحة الرموز: العبارتان اآلتيتان صحيحتان ألية أعداد: أ ب ج : 1( إذا كانت أ > ب فإن أ + ج > ب + ج 2( إذا كانت أ < ب فإن أ + ج < ب + ج اإلى اأ سف obeikaneducation.com 112 الف سل 4: المتباينات الخطية مثال 1 الحل بالجمع تبقى هذه الخاصية صحيحة في حالتي و. حل المتباينة س وتحقق من صحة الحل. س المتباينة األصلية س أضف 12 إلى كل الطرفين س 20 بس ط لذا فمجموعة الحل هي: { كل األعداد األكبر من أو تساوي 20{ تحقق للتحقق من صحة الحل عو ض عن س في المتباينة األصلية بثالثة أعداد مختلفة على أن يكون أحدها 20 والعدد الثاني أكبر من 20 والعدد الثالث أصغر من 20 تحقق من فهمك حل كلا من المتباينتين اآلتيتين وتحقق من صحة الحل: 1 اأ( > 22 م ب( د

113 قراءة الريا سيات ال سفة المميزة للمجموعة تقرأ { س س 20{ مجموعة كل األعداد س حيث س أكبر من أو تساوي 20 الطريقة المختصرة لكتابة مجموعة الحل هي استعمال الصفة المميزة للمجموعة وتكون مجموعة الحل للمثال 1 بهذه الطريقة هي { س س 20{ ويمكن تمثيل هذه المجموعة بياني ا على خط األعداد ويجب التحقق إن كانت نقطة طرف التمثيل البياني للمتباينة دائرة أو نقطة فإذا كانت نقطة الطرف غير متضمنة في التمثيل البياني فاستعمل دائرة أما إذا كان التمثيل يتضمنها فاستعمل نقطة حل المتباينات با ستعمال الطرح يستعمل الطرح أيض ا لحل المتباينات مفهوم اأ سا سي خا سية الطرح للمتباينات اإلى اأ سف إذا طرح العدد نفسه من طرفي متباينة صحيحة فإن المتباينة الناتجة تبقى صحيحة التعبير اللفظي: العبارتان اآلتيتان صحيحتان ألية أعداد: أ ب ج الرموز: 1( إذا كانت أ > ب فإن أ - ج > ب - ج 2( إذا كانت أ < ب فإن أ - ج < ب - ج وتبقى هذه الخاصية صحيحة أيض ا في حالتي و. مثال 2 الحل بالطرح حل المتباينة: م + 19 > 56. المتباينة األصلية م + 19 > 56 اطرح 19 من كل الطرفين م > اإر سادات للختبار ف سل المتغير عند حل المتباينات يكون الهدف فصل المتغير في أحد طرفيها وهو الهدف نفسه في حل المعادالت تحقق من فهمك م > 7 بس ط )2 حل المتباينة ف الدر س 1-4: حل المتباينات بالجمع اأو بالطرح 11

114 عند حل المتباينة ال تقتصر عملية الطرح على الثوابت فقط ولكن يمكن طرح المتغيرات من كال طرفيها مثال المتغير في طرفي المتباينة حل المتباينة: أ أ ثم مث ل مجموعة حلها بيانيا ا على خط األعداد. أ أ المتباينة األصلية أ - أ أ - أ اطرح أ من كل طرفي المتباينة 6 أ بس ط بما أن المتباينة 6 أ هي نفسها أ 6 فإن مجموعة الحل هي }أ أ 6{ تحقق من فهمك حل كلا من المتباينتين اآلتيتين ثم مث ل مجموعة حلها بيانيا ا على خط األعداد: اأ( 9 ن - 1 < 10 ن ب( 5 ه ه اإر سادات للدرا سة كتابة المتباينات: تبسيط المتباينة بجعل المتغير في طرفها األيمن كما في المتباينة أ 6 يساعد على كتابة مجموعة الحل باستعمال الصفة المميزة للمجموعة بسهولة يمكنك حل المسائل اللفظية التي تحتوي عبارات مثل أكبر من أو أقل من باستعمال المتباينات ملخ س المفهوم العبارات التي تدل على متباينات اإلى اأ سف < < أقل من أصغر من أكبر من أكثر من أقل من أو يساوي على األكثر ال يزيد على أكبر من أو يساوي على األقل ال يقل عن مثال 4 من واقع الحياة ا ستعمال المتباينات لحل الم سائل وظائف: اشترطت مؤسسة على أحمد أل يقل معدل إدخاله على الحاسوب عن 64 كلمة في الدقيقة ليحصل على وظيفة فيها. فإذا كان معدله اآلن 48 كلمة في الدقيقة فكم يجب أن يزيد معدل الكلمات التي يدخلها حتى يحصل على الوظيفة التعبير اللفظي المتغير معدل إدخاله 64 كلمة في الدقيقة على األقل يجب أن يصبح معد افرض أن ن = عدد الكلمات التي يجب أن يزيدها على معدله 64 + ن 48 المتباينة + 48 ن 64 المتباينة األصلية + 48 ن اطرح 48 من الطرفين ن 16 بس ط يجب أن يزيد أحمد معدل الكلمات التي يدخلها بمقدار 16 كلمة في الدقيقة أو أكثر تحقق من فهمك 4( ت سوق: يرغب خالد في إنفاق 195 رياال في مركز تجاري فاشترى قميص ا بمبلغ 75 رياال وحزام ا بمبلغ 42 رياال فإذا أراد أن يشتري بنطاال فما المبلغ الذي يمكن أن يدفعه لذلك من االختراعات المؤثرة في حياة البشرية ظهور الحاسب اآللي واستخدامه في مجاالت الكتابة والطباعة وغيرها ودوره في إنجاز األعمال بسرعة ودقة 114 الف سل 4: المتباينات الخطية

115 تاأكد حل كلا من المتباينات اآلتية ثم مثل مجموعة حلها بيانيا ا على خط األعداد: ) ص ) 1 س - > 7 ) 4 11 ك + 4 ) ق + 6 < 2 ) 6 8 ن 7 ن - ) 5 10 > ن - 1 عر ف كل متغير فيما يأتي ثم اكتب المتباينة وحلها: ) 7 ناتج جمع عدد وأربعة ال يقل عن 10 ) 8 ناتج جمع عدد وثالثة يقل عن مثليه ) 9 مدينة األعاب: تتحرك أرجوحة إلى األمام وإلى الخلف وترتفع قليال في كل مرة بحيث ال يتجاوز أقصى ارتفاع لها 17 قدم ا فإذا كان ارتفاع األرجوحة بعد 0 ثانية هو 45 قدم ا فكم قدم ا يمكن أن يزيد ارتفاعها على ذلك المثاالن 2 1 المثال المثال 4 تدرب وحل الم سائل حل كلا من المتباينات اآلتية ثم مث ل مجموعة حلها بيانيا ا على خط األعداد: ) 1 2 ت - > 8- ) 1 1 ر ) 1 0 ف - 6 ) 1 1 > 18 + ر ) ج 1 ) ق - 0 ) 1 6 و و ) 1 7 ص ص ) أ < أ عر ف كل متغير فيما يأتي ثم اكتب المتباينة وحلها: ) 1 9 ناتج طرح 8 من عدد ما أقل من 21 ) 2 0 م ث ال عدد ما أكبر من مجموع ذلك العدد و 9 حل كلا من المسائل )24-21( بتعريف متغير وكتابة متباينة ثم حلها: ) 2 1 توفير: يريد غانم أن يشتري سيارة ثمنها ريال على األقل وقد وف ر 1000 ريال فما المبلغ المتبقي عليه لشراء السيارة ) 2 2 تقنية: أظهرت دراسة حديثة أن أكثر من 21 مليون ا ممن هم بين سن الثانية عشرة والسابعة عشرة يستعملون اإلنترنت منهم 16 مليون ا يستعملون اإلنترنت في المدرسة فما عدد الذين يستعملون اإلنترنت خارج المدرسة ) 2 مكتبة: أضاف أحمد 20 كتاب ا جديد ا إلى مكتبته فأصبح لديه أكثر من 61 كتاب ا فكم كتاب ا كان لديه المثاالن 2 1 مثال مثال 4 ) 2 4 كرة سلة: أراد أحد الالعبين إحراز 150 نقطة على األقل في هذا الموسم وسجل حتى اآلن 12 نقطة فكم نقطة بقيت عليه الدر س 1-4: حل المتباينات بالجمع اأو بالطرح 115

116 ) 2 5 متطوعون: يتطوع بعض الشباب لخدمة حجاج بيت الله الحرام في مكة المكرمة ومنى ويقول أحدهم أن بإمكانه أن يتطوع لمدة ال تتجاور 0 ساعة في األسبوع فإذا تطوع المدة المبينة في الجدول المجاور فما المدة التي يستطيع أن يتطوع بها هذا األسبوع المكان مكة املكرمة منى الزمن شاعات 5 و 20 دقيقة شاعات 4 و 15 دقيقة حل كلا من المتباينتين اآلتيتين وتحقق من صحة الحل ثم مث ل مجموعة الحل بيانيا ا على خط األعداد: 1_ د 2 + _4 9 _2 _ د - 2 ) 2 7 ) ص < 10.1 ص يقبل الشباب على العمل التطوعي لكونه واجب ا وطني ا وإنساني ا شرعه ديننا يقوي الترابط ويعمق االنتماء والمسؤولية ويستثمر أوقاتهم فيما يفيد التنمية واالرتقاء بالفرد والمجتمع ) 28 تمثيلت متعددة: سوف تكتشف في هذه المسألة عمليتي الضرب والقسمة على المتباينات اأ( هند سي ا: افرض وجود 12 كجم على الكفة اليمنى للميزان و 18 كجم على الكفة اليسرى وضح بالرسم هذا الموقف ب( عددي ا: اكتب متباينة تمثل هذا الموقف ج( جدولي ا: أنشئ جدوال يبين نتيجة جعل األوزان على كلتا الكفتين: مثلين وثالثة أمثال وأربعة _1 _1 و 4 _1 و 2 أمثال وأنشئ جدوال آخر يبين نتيجة إنقاص األوزان على كلتا الكفتين بنسبة وخصص عمود ا للمتباينة في كال الجدولين د( لفظي ا: صف تأثير ضرب أو قسمة كل من طرفي المتباينة في العدد الموجب نفسه على المتباينة م سائل مهارات التفكير العليا تدريب على اختبار ) 2 9 تبرير: حدد أوجه الشبه وأوجه االختالف بين التمثيل البياني لكل من المتباينتين س < 4 و س 4 5_ > أ + 2 رتب األعداد أ ب ج د من األصغر 8 _1 ج + 1 < أ - 4 د + ) 0 تحد: افرض ب > د + إلى األكبر ) 1 م ساألة مفتوحة: اكتب ثالث متباينات خطية تكافئ ص < - ) 2 اكتب: لخص عملية حل المتباينات الخطية وتمثيل مجموعة حلها على خط األعداد ) 4 كان متوسط درجات 10 طالب في مادة الكيمياء 78 ثم اكتشف المعلم أنه أخطأ في رصد درجة أحد هؤالء الطالب فكانت أقل من درجته الحقيقية بعشر درجات فكم يصبح متوسط درجات الطالب بعد التعديل ) ما مجموعة حل المتباينة + 7 س 5 اأ( }س س < 2{ ج( }س س < -2{ ب( }س س > 2{ د( }س س > -2{ مراجعة تراكمية ) 5 اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة )- 2( والمعامد للمستقيم ص = - س + 7 )الدر س 2-( ) 6 أوجد قيمة الحد الثامن عشر في المتتابعة : )الدر س )6-2 ) 7 حل المعادلة : س 6-12= )الدر س 5-1 ( 116 الف سل 4: المتباينات الخطية

117 x معمل الجبر حل المتباينات يمكن استعمال بطاقات الجبر لتمثيل حل المتباينات ن ساط حل المتباينات حل المتباينة: - 2 س 4. الخطوة 1: استعمل بطاقة الصقة لتغطي إشارة المساواة على لوحة المعادلة واكتب على البطاقة إشارة ثم مث ل المتباينة ببطاقات الجبر الخطوة 2: بما أنك ال تريد إيجاد قيم س السالبة فيجب حذف بطاقات س السالبة بإضافة بطاقتين من س الموجبة إلى كل طرف من طرفي اللوحة وحذف األزواج الصفرية الخطوة : أضف 4 من بطاقات العدد سالب 1 إلى طرفي اللوحة واحذف األزواج الصفرية الخطوة 4: افصل البطاقات إلى مجموعتين -x التمثيل والتحليل استعمل بطاقات الجبر لحل كل من المتباينات اآلتية: ) 4-6 س 12- ) - 5 س 15 ) 2-4 س > 4- ) 1 - س < 9 ) 5 هل معامل س موجب أم سالب في كل من المتباينات السابقة ) 6 ماذا تالحظ على إشارة المتباينة وموقع المتغير في األسئلة 4-1 وحلولها ) 7 مث ل حل المتباينة: س 12 بياني ا وبين كيف يختلف حل هذه المتباينة عن حل المتباينة : - س 12 ) 8 اكتب قاعدة لحل متباينات تتضمن الضرب والقسمة ( إرشاد : تذك ر أن القسمة على عدد تكافئ الضرب في مقلوب ذلك العدد ( ا ستك ساف - 4 2: معمل الجبر: حل المتباينات 117

118 فيما سبق در شت حل معادلت با شتعمال ال شرب والق شمة. واالآن أاحل متباينات خطية با شتعمال ال شرب. أاحل متباينات خطية با شتعمال الق شمة. المفردات خا شية ال شرب للمتباينات خا شية الق شمة للمتباينات حل المتباينات بال سرب اأو بالق سمة لماذا حصل سعود على جائزة تسوق مقدارها 250 رياال من محل لبيع العطور فإذا كان ثمن زجاجة العطر الذي يريد شراءه 45 رياال فإن عدد زجاجات العطر )ك( التي يمكن أن يشتريها يمثل بالمتباينة 45 ك 250 حل المتباينات با ستعمال ال سرب: إذا ضربت كال من طرفي متباينة في عدد موجب فستبقى المتباينة صحيحة > 4 2 المتباينة األصلية 4)( 2)( اضرب كلا من الطرفين في. > 12 6 بس ط. الحظ أن اتجاه إشارة المتباينة بقي كما هو أما إذا ضربت طرفي المتباينة في عدد سالب فإن اتجاه إشارة المتباينة يتغير obeikaneducation.com المتباينة األصلية < 7 9 اضرب كل الطرفين في -2 7)-2( 9)-2( بس ط. 14- > 18- يوضح المثاالن السابقان خاصية الضرب للمتباينات.5> 6 )2(.5 > )2(6 7 > 12 مفهوم اأ سا سي التعبير اللفظي إذا ض رب كل من طرفي متباينة صحيحة في عدد موجب تكون المتباينة الناتجة صحيحة أيض ا إذا ض رب كل من طرفي متباينة صحيحة في عدد سالب يتعين تغيير اتجاه إشارة المتباينة لجعل المتباينة الناتجة صحيحة أيض ا خا سية ال سرب للمتباينات بالرموز ألي عددين حقيقيين أ ب وألي عدد موجب ج إذا كان أ > ب فإن أ ج > ب ج وإذا كان أ < ب فإن أ ج < ب ج ألي عددين حقيقيين أ ب وألي عدد سالب ج إذا كان أ <ب فإن أ ج < ب ج وإذا كان أ < ب فإن أ ج > ب ج اأمثلة و < )0.5( )5( < )0.5( )2.1( 2.5 < > 7 )-( 4.5 < )-( < 21- اأ سف اإلى و.1 < 5.2 )4-( )5.2( > )4-( ).1( > وتبقى هذه الخاصية صحيحة للمتباينات في حالتي و. 118 الف سل 4: المتباينات الخطية

119 اإر سادات للدرا سة التحقق من سحة الحل يمكنك التحقق من صحة الحل في المثال 1 بتعويض عدد أكبر من 672 وإثبات أن المتباينة الناتجة غير صحيحة مثال 1 من واقع الحياة كتابة المتباينات وحلها درا سة م سحية: في استطلع أجرته إحدى المدارس أجاب ث من أفراد العينة وعددهم أقل من 84 طالب ا بأنهم لم يتناولوا أي وجبة غداء سريعة خلل الفصل الدراسي الماضي. فما عدد أفراد العينة افهم تعلم عدد الطالب الذين لم يتناولوا أي وجبة غداء من مطاعم الوجبات السريعة ونسبتهم من عدد الطالب الذين تم استطالع آرائهم خط ط افرض أن ن= عدد أفراد العينة ثم اكتب جملة تمث ل هذا الموقف 84 التعبير اللفظي ثمن مضروب ا في الطالب عدد تم الذين استطالع آرائهم أقل من 84 < _1 8 المتباينة ن حل حل المتباينة إليجاد قيمة ن 8 ن < 84 المتباينة األصلية _1 8 ن < )8(84 اضرب كلا من الطرفين في 8 _1 )8( ن < 672 بس ط تحقق للتحقق من اإلجابة عو ض عدد ا أقل من 672 في المتباينة األصلية )80( 8 = 10 والعدد 10 أقل من العدد )84<10(84 إذا كانت ن = 80 فإن 1_ لذا فمجموعة الحل هي: }ن ن> 672{ إذن عدد أفراد العينة أقل من 672 طالب ا تحقق من فهمك 1( علم النبات: تتركز آشجار النخيل بصفة خاصة في العالم العربي حيث يوجد به أكثر من 60 مليون شجرة تمثل نحو ثالثة أخماس أشجار النخيل في العالم فما عدد أشجار النخيل في العالم يمكنك استعمال النظير الضربي لحل المتباينات مثال 2 الحل بال سرب ر < 21 وتحقق من صحة الحل. _ 7 حل المتباينة - _ ر < 21 المتباينة األ صلية. 7 - وغي ر اتجاه إشارة المتباينة.. ) اضرب في - _7 7 ر( > ( 21 - _7 _ - ( ) _7 - ( شجرة النخيل هي الشجرة الوحيدة التي اليسقط ورقها وكل جزء فيها فائدته عظيمة: ثمارها ليفها ساقها سعفها جريدها خوصها ر > -49 بس ط وتحقق من صحة الحل بالتعويض. مجموعة الحل هي: { ر ر > -49{ تحقق من فهمك حل كلا من المتباينات اآلتية وتحقق من صحة الحل: _ ت < 5 8 _1 م - 2 د( 5 _4 ف > 10-2 ج( ن_ 8 2 ب( اأ( - الدر س - 4 2: حل المتباينات بال شرب اأو بالق شمة 119

120 حل المتباينات بالق سمة: إذا قسمت كل طرف من طرفي المتباينة على عدد موجب تبقى المتباينة الناتجة صحيحة 10- < 5- المتباينة األصلية -5_ 5 _10-5 الحظ أن اتجاه إشارة المتباينة بقي كما هو 2- < 1- بس ط. اقسم كل الطرفين على 5. تنبيه! االإ سارة ال سالبة: ال يعني وجود اإلشارة السالبة في المتباينة ضرورة تغيير اتجاه إشارتها فعند حل > 5- ال يتغير المتباينة س _ اتجاه إشارة المتباينة إذا قسمت كل طرف من طرفي المتباينة على عدد سالب يتغير اتجاه إشارة المتباينة الناتجة لتكون صحيحة < المتباينة األصلية 15_ 18_ اقسم كل الطرفين على > 6- بس ط. الحظ أن اتجاه إشارة المتباينة يتغير عند قسمة طرفي المتباينة على عدد سالب يوضح هذان المثاالن خاصية القسمة للمتباينات. مفهوم اأ سا سي التعبير اللفظي إذا ق سم كل من طرفي متباينة صحيحة على عدد موجب تكون المتباينة الناتجة صحيحة أيض ا إذا ق سم كل من طرفي متباينة صحيحة على عدد سالب يجب تغيير اتجاه إشارة المتباينة لجعل المتباينة الناتجة صحيحة خا سية الق سمة للمتباينات بالرموز ألي عددين حقيقيين أ ب وأي عدد حقيقي > ج _ ب موجب ج إذا كان أ< ب فإن ج _أ < ج _أ وإذا كان أ < ب فإن ج _أ اأمثلة 5 < > 4.5 _5 0.5 < _1.5 _2.1 و 0.5 > _ < 0.7 > < > 6 _.6 9- > _ _ 2.4 و 6- < _ > < 1- ألي عددين حقيقيين أ ب وأي عدد حقيقي سالب ج < ج _ب إذا كان أ > ب فإن ج _أ > ج _ ب وإذا كان أ < ب فإن ج _أ اأ سف اإلى وتبقى هذه الخاصية صحيحة للمتباينات في حالتي و مثال ]الحل بالق سمة حل كلا من المتباينات اآلتية وتحقق من صحة الحل: اأ( 60 ت > 8 ب( - 7 د ت > 8 المتباينة األصلية - 7 د 147 المتباينة األصلية 147_ اقسم كل الطرفين على -7-7 د_ 7-8_ اقسم كل الطرفين على ت_ > _ ط د -21 بس ط بس ت > 15 تحقق من فهمك 2 ن < 6 اأ( 8 ف < 58 ب( - 42 > 6 ر ج( - 12 ه > 15 د( - _1 120 الف سل 4: المتباينات الخطية

121 تاأكد مثال ) 1 1 كتب: جمعت دار نشر أكثر من 5500 ريال من بيع كتاب جديد ثمن النسخة الواحدة 15 رياال عر ف متغير ا واكتب متباينة تمثل عدد الكتب المبيعة ثم حلها وفس ر الحل تدرب وحل الم سائل حل كلا من المتباينات اآلتية وتحقق من صحة الحل: 6 ج _ 7 ) < 7 م _1 ن ) 9 ل > 108 -) 4 2 > 0 ) 2 المثاالن 2 عر ف متغير ا في كل من السؤالين 7 6 واكتب متباينة وحلها ثم فسر الحل: ) 6 هاتف نقال: اشترى سعد بطاقة هاتف بمبلغ 50 رياال فإذا كان سعر الدقيقة 0.24 ريال فكم دقيقة يمكنه أن يتكلم بهذه البطاقة ) 7 نقود: يحتاج رائد إلى 560 رياال على األقل لتغطية نفقات رحلته وقد بدأ بتوفير 25 رياال من مصروفه كل أسبوع فبعد كم أسبوع يمكنه القيام بالرحلة حل كلا من المتباينات اآلتية وتحقق من صحة الحل: س _ 2- ج _ 0 ) > 11- ) 9 ) 8 4 _1 م 17- _1 ن ) 1 ف _ 2 ) 1 _2 ه > < 72- ) 1 1 ) > - 2 ع ) س < 64 ) ص 96 ) ط > 72- ) س ) ف > 5 _ أيام 5 ) 2 0 دورات تدريبية: من متطلبات الحصول على شهادة في إحدى الدورات حضور المشترك التدريب على األقل فإذا حقق سالم هذا الشرط بحضوره 15 يوم ا تدريبي ا فما الحد األعلى لعدد أيام التدريب في هذه الدورة ) 2 1 متحف: أراد مدرس التاريخ في مدرسة متوسطة اصطحاب طالبه لزيارة متحف فإذا كان سعر بطاقة دخول المتحف للفرد 8 رياالت فما عدد الطالب الذين يمكن أن يزوروا المتحف بمبلغ 260 رياال ) 2 2 بنزين: إذا كان سعر لتر البنزين ال يقل عن 0.45 ريال فكم لتر ا من البنزين )ألقرب جزء من عشرة( يمكن أن يشتري خالد بمبلغ 24 رياال مثال 1 المثاالن 2 أول من ابتكر الكسور العشرية هو العالم الرياضي المسلم غياث الدين الكاشي اكتب أمام كل متباينة رمز التمثيل البياني لحلها: _2 ه 9 ) ك 8 ) س < 4.5- ) < - 5 ت - ) 2 ب( اأ( د( ج( الدر س - 4 2: حل المتباينات بال شرب اأو بالق شمة 121

122 ) 2 7 حلوى: أشار ثلثا طالب الصف الثالث في مدرسة متوسطة وعددهم أقل من 6 طالب ا إلى أنهم يفضلون الشوكوالتة على غيرها من الحلوى فما عدد طالب الصف 1_ مساحة قاعدته االرتفاع ) 2 8 تمثيلت متعددة: حجم الهرم = اأ( هند سي ا: ارسم هرم ا قاعدته مربعة طول ضلعها ل سم وارتفاعه ع سم ب( عددي ا: إذا كان حجم الهرم 72 سم فاكتب معادلة إليجاد ارتفاعه ج( جدولي ا: أنشئ جدوال يبين قيم ع عندما ل = د( عددي ا: اكتب متباينة لقيم ل الممكنة على أن يكون ل < ع واكتب متباينة أخرى لقيم ع الممكنة على أن يكون ل > ع م سائل مهارات التفكير العليا ) 2 9 اكت سف الخطاأ: حل كل من طالل وجمال المتباينة 6 د -84 فأي هما كانت إجابته صحيحة اشرح تبريرك طالل 6 د 84-6 د_ - _84 6 جمال 6 د د_ - _ د 14-6 د -14 ) 0 تحد: حدد إذا كانت المتباينتان س > 2 1 س > 1 متكافئتين أم ال وفسر إجابتك _ 1 " صحيحة أحيان ا أم دائم ا أم غير صحيحة أبد ا " وفسر إجابتك ) 1 تبرير: وضح إذا كانت العبارة "إذا كان أ > ب فإن 1_ > ب أ _5 س 8 ) 2 م ساألة مفتوحة: اكتب موقف ا من واقع الحياة يمثل المتباينة - ) اكتب: اشرح الحاالت التي يتغير فيها اتجاه إشارة المتباينة وأعط أمثلة تؤيد ذلك ) 5 ما حل المعادلة : 4 س- = - 2 س _1 2 اأ( -2 ج( د( 2 ب( - 1 _ 2 تدريب على اختبار ) 4 اإجابة ق سيرة: أوجد قيمة س في الشكل اآلتي مراجعة تراكمية حل كلا من المتباينات اآلتية وتحقق من صحة الحل ثم مث له على خط األعداد: )الدر س 1-4( ) ب - > - ب ) 7 ص ) أ + < 5 أ ) 9 مثل المعادلة ك= س بياني ا ثم أوجد قيمة ك عندما س = 8 )الدر س -2( ) 4 0 حل المعادلة: 2 س - = 8 س + 4 )الدر س ) الف سل 4: المتباينات الخطية

123 الخطوات حل المتباينات المتعددة لماذا فيما سبق در شت حل معادلت متعددة الخطوات. واالآن أاحل م تباينات خطية تت شمن اأكثر من عملية واحدة. أاحل متباينات خطية تت شمن خا شية التوزيع. يحصل مندوب مبيعات على راتب شهري يضاف إليه عمولة تبع ا لمبيعاته ويمكن استعمال متباينة متعددة الخطوات إليجاد قيمة المبيعات التي تحقق للمندوب دخال شهري ا يلبي طموحه حل المتباينات المتعددة الخطوات: يمكن حل المتباينات المتعددة الخطوات بإلغاء أثر العمليات بالطريقة نفسها التي اتبعتها في حل المعادالت المتعددة الخطوات مثال 1 من واقع الحياة حل المتباينة المتعددة الخطوات مبيعات: يعمل عبد المجيد مندوب مبيعات براتب شهري قدره 6000 ريال وعمولة مقدارها 10 من مبيعاته فإذا كان هدفه أن يكسب ريال شهريا ا على األقل. فاكتب متباينة وحلها إليجاد قيمة المبيعات اللزمة لتحقيق هدفه الراتب األساسي + )العمولة المبيعات( الدخل المطلوب بالتعويض س اطرح 6000 من كل الطرفين س اقسم كل الطرفين على س لذا يجب أن ال تقل مبيعاته عن ريال ليحقق هدفه تحقق من فهمك 1( نقود: أعلنت إحدى المطابع عن عرض خاص لطباعة 400 نسخة من نشرة إعالنية بأقل من 1.50 رياال فإذا علمت أن هذا السعر يشمل رسوم ا مقدارها 1.50 رياال فما سعر طباعة النسخة الواحدة من النشرة اإلعالنية obeikaneducation.com عند ضرب المتباينة في عدد سالب أو قسمتها عليه يتغير اتجاه إشارة المتباينة وتنطبق هذه الخاصية على المتباينات المتعددة الخطوات مثال 2 متباينة تت سمن معامل سالب ا - 11 ص > 55 أضف 1 إلى كل الطرفين حل المتباينة: - 11 ص - 1 > ص - 1 > 42 المتباينة األصلية _55-11 ص _ < ص < -5 بس ط لذا فمجموعة الحل هي: }ص ص> -5{ تحقق من فهمك اقسم كل الطرفين على -11 وغي ر اتجاه إشارة المتباينة حل كلا من المتباينتين اآلتيتين: 2 اأ( ك 2 ب( > 4-4 ص + 11 الدر س -4: حل المتباينات المتعددة الخطوات 12

124 يمكن تحويل الجمل الرياضية إلى متباينات متعددة الخطوات ثم حلها باستعمال خصائص المتباينات مثال كتابة المتباينة وحلها عرف المتغير واكتب المتباينة ثم حلها. خمسة ناقص ستة أمثال عدد أكبر من أربعة أمثال ذلك العدد زائد 45. خمسة ناقص ستة أمثال عدد أكبر من أربعة أمثال العدد زائد خمسة وأربعين ن > 10 ن - 5 > 45 اطرح 4 ن من طرفي المتباينة - 10 ن > 40 اطرح 5 من طرفي المتباينة 4 ن اقسم طرفي المتباينة على -10 وغي ر اتجاه إشارة المتباينة 40_ ن_ < 10- بس ط ن < -4 لذا فمجموعة الحل هي { ن ن < -4{ تحقق من فهمك ( نصف عدد زائد اثنين أكبر من سبعة وعشرين حل المتباينات التي تت سمن خا سية التوزيع عند حل متباينات تحتوي على أقواس استعمل أوال خاصية التوزيع للتخلص من األقواس ثم استعمل ترتيب العمليات لتبسيط المتباينة الناتجة مثال 4 خا سية التوزيع حل المتباينة: (4 ت - ) ت +. المتباينة األصلية 16_ 4 4 (4 ت - ) ت + خاصية التوزيع 12 ت ت + جم ع الحدود المتشابهة 12 ت ت + اطرح 8 ت من الطرفين 4 ت ت 16 أضف 1 إلى كل الطرفين 4 ت_ ت 4 بس ط لذا فمجموعة الحل هي: }ت ت 4{ تحقق من فهمك اقسم طرفي المتباينة على 4 حل كلا من المتباينتين اآلتيتين وتحقق من صحة الحل: 4 اأ( 5(6 ع - ) 42 4 ب( 2 )ه + )6 > - 8( - ه ) مراجعة المفردات ترتيب العمليات 1( احسب قيمة العبارات داخل األقواس 2( احسب قيمة كل القوى ( اضرب و/ أو اقسم من اليمين إلى اليسار 4( اجمع و/ أو اطرح من اليمين إلى اليسار إذا كانت نتيجة حل المتباينة عبارة صحيحة دائم ا فإن مجموعة حل المتباينة هي مجموعة األعداد الحقيقية وتكتب على الصورة }س س عدد حقيقي { أم ا إذا كانت نتيجة الحل عبارة غير صحيحة أبد ا فإن مجموعة الحل هي المجموعة الخالية وهي المجموعة التي ال تحتوي على أي عنصر ويعبر عنها بالرمز تنبيه! خا سية التوزيع إذا ضرب عدد سالب في مجموع حدين أو الفرق بينهما فتذك ر أن توزع العدد مع إشارته السالبة على كل حد من الحدين بين القوسين 124 الف سل 4: المتباينات الخطية

125 مثال 5 المجموعة الخالية ومجموعة جميع االأعداد الحقيقية اإر سادات للدرا سة حل كلا من المتباينتين اآلتيتين وتحقق من صحة الحل: اأ( 9 ت - 5 )ت - )5 4 )ت - ) 9 ت - 5 )ت - )5 4 )ت - ) المتباينة األصلية 9 ت - 5 ت ت - 12 خاصية التوزيع 4 ت ت - 12 جمع الحدود المتشابهة 4 ت ت 4 ت ت اطرح 4 ت من كل الطرفين بس ط بما أن نتيجة الحل عبارة غير صحيحة أبد ا فإن مجموعة حل هذه المتباينة هي المجموعة الخالية ب( 4( م + ) (6 م - )4 المتباينة األصلية 4( م + ) (6 م - 4 ) خاصية التوزيع 12 م م - 24 جمع الحدود المتشابهة 12 م م + 18 اطرح 12 م من الطرفين 12 م م 12 م م بس ط بما أن نتيجة الحل عبارة صحيحة دائم ا فإن مجموعة حل هذه المتباينة هي مجموعة األعداد الحقيقية تحقق من فهمك حل كلا من المتباينتين اآلتيتين وتحقق من صحة الحل: 5 اأ( ( ج + )4-4(6 ج - )1 5 ب( 46 8 م - 2(4 م + )5 المجموعة الخالية ال تستعمل الصيغة المميزة للمجموعة عندما تكون مجموعة حل المتباينة هي المجموعة الخالية وبدال من ذلك يعب ر عن مجموعة الحل بالرمز تاأكد ) 1 قوارب: إذا أراد أربعة أشخاص ركوب قارب ومعهم حمولة مقدارها 40 كجم فاكتب متباينة إليجاد معدل الوزن المسموح به للشخص الواحد )ن( وحلها علم ا بأن حمولة القارب 400 كجم حل كلا من المتباينتين اآلتيتين وتحقق من صحة الحل: ) 4 م - 17 < 6 م + 25 ) 2 - س + 7 > 4 عرف المتغير واكتب المتباينة وحلها ثم تحقق من صحة الحل: ) 4 أربعة أمثال عدد ناقص 6 أكبر من 8 مضاف ا إليها م ث ال ذلك العدد حل كلا من المتباينات اآلتية وتحقق من صحة الحل: ) 5 6-5( ص - )2 6 ) - 5 )ق + )4 > )ق - )4 7 ) - 8 س 9 + 1(2-4 س( مثال 1 مثال 2 مثال المثاالن 5 4 الدر س -4: حل المتباينات المتعددة الخطوات 125

126 تدرب وحل الم سائل ) 8 ت سوق: يريد سليمان شراء حاسوب ثمنه 2195 رياال وعدد ا من البرمجيات التعليمية ثمن الواحدة 50 رياال فإذا كان معه 2500 ريال فاكتب متباينة إليجاد أكبر عدد من البرمجيات يمكن أن يشتريها ثم حلها وفس ر إجابتك حل كلا من المتباينتين اآلتيتين وتحقق من صحة الحل: _5 ص + 6 < ) 1 0 ) 9 7 < 7-10 د عرف متغير ا في كل من األسئلة )1-11( واكتب المتباينة وحلها ثم تحقق من صحة الحل: ) 1 1 ثالثة أرباع عدد ناقص تسعة يساوي على األقل اثنين وأربعين ) 1 2 عشرة ال تزيد على 4 أمثال مجموع مثلي عدد مع ثالثة ) 1 ثالثة أمثال مجموع عدد مع سبعة أكبر من خمسة أمثال ذلك العدد ناقص ثالثة عشر حل كلا من المتباينتين اآلتيتين وتحقق من صحة الحل: ) 1 5 2( - ب( < 10 - )ب - )6 ) 1 4-7( ن + ) < 6 ن ) 1 6 حل المتباينة: 6 )م - ( > 2(5 م + 4( موضح ا كل خطوة مع التبرير مثال 1 مثال 2 مثال المثاالن 5 4 علوم: درجة حرارة جسم الجمل الطبيعية 97.7 ف في الصباح وإذا لم يشرب ماء حتى الظهر ترتفع ) 1 7 درجة حرارته إلى أكثر من 104 ف اكتب متباينة تمثل درجة حرارة جسم الجمل عند الظهر إذا لم يشرب ماء بكل من درجتي الحرارة الفهرنهايتية )ف( والسيليزية )س( علم ا بأن 5 س + 2 ف = _9 تحرك الجمال رجليها الواقعتين على أحد جانبي جسمها مع ا عندما تمشي بعكس معظم الحيوانات األخرى ) 1 8 هدايا: يريد حسن أن يشتري هدية لوالدته بمبلغ ال يقل عن 500 ريال ويملك اآلن 80 رياال ويمكنه توفير 10 رياالت يومي ا اأ( اكتب متباينة إليجاد عدد األيام الالزمة ليحقق هدفه ثم حلها ب( مث ل مجموعة الحل بياني ا ) 19 تمثيلت متعددة: سوف تحل في هذه المسألة المتباينات المرك بة مثل التي يكون فيها العدد س أكبر من 4 وأقل من 9 اأ( عددي ا: اكتب متباينتين منفصلتين لهذه العبارة ب( بياني ا: مث ل مجموعة حل المتباينة األولى باللون األحمر ومجموعة حل المتباينة الثانية باللون األزرق وظل ل بالقلم الفسفوري جزء التمثيل البياني الذي يتداخل فيه اللونان ج( جدولي ا: أنشئ جدوال باستعمال عشر نقاط من خط األعداد الذي مث لته متضمنة أعداد ا من الجزأين استعمل عمود ا لكل متباينة وعمود ا ثالث ا بعنوان»حل مشترك«وامأل الجدول بكتابة»صح«أو»خطأ«د( لفظي ا: صف العالقة بين األجزاء الملونة في التمثيل البياني والجدول ه( منطقي ا: ماذا تتوقع أن يكون التمثيل البياني للمتباينة < 4 س < الف سل 4: المتباينات الخطية

127 عرف المتغير في المسألة اآلتية واكتب المتباينة ثم حلها وفس ر إجابتك: ) 2 0 حيوانات: وزن حصان 414 كجم ووزنه الطبيعي أقل من 90 كجم ويمكن أن يفقد من وزنه كجم في األسبوع باستعمال برنامج غذائي معين فكم أسبوع ا يلزم ليصل إلى وزنه الطبيعي ) 21 نظرية االأعداد: أوجد جميع المجموعات المكونة من ثالثة أعداد صحيحة زوجية موجبة متتالية ال يزيد مجموعها على 6 حل كلا من المتباينات اآلتية وتحقق من صحة الحل: ) )س - )4 2 + )س - )6 ) 2 1 س س + 7 _2 س - 22 ) س - ) ع < 2.5 ع يعتني الطبيب البيطري بالحيوانات المصابة أو المريضة ويمكن أن يعمل في أماكن كثيرة مثل حديقة الحيوان ومراكز األبحاث أو في عيادة خاصة م سائل مهارات التفكير العليا ) 2 6 تبرير: اشرح كيف يمكن أن تحل المتباينة: - ف دون أن تضرب كال الطرفين في عدد سالب أو تقسمهما عليه ) 2 7 تحد: إذا كان للمتباينة أس+ب < أ س+ج عدد ال نهائي من الحلول فما مجموعة حل المتباينة: أس+ ب > أ س + ج وضح الطريقة التي عرفت بها اإلجابة ) 2 8 م ساألة مفتوحة: اكتب متباينتين مختلفتين تحالن بخطوات متعددة ولهما التمثيل البياني نفسه ) 2 9 حدد المتباينة التي تختلف عن المتباينات الثالث األخرى وفس ر إجابتك 4 ص + 9 > - ص - 4 > 5-2 ص + 1 < ص + 2 < 1- تدريب على اختبار ) 1 ما مجموعة حل المتباينة: 4 ت+ 2 < 8 ت ) 6 ت - 10 ( اأ( { ت ت < }6.5- ج( { ت ت }4< ب( { ت ت > }6.5- د( { ت ت > }4 ) 0 اكتب: اشرح متى تكون مجموعة حل المتباينة المجموعة الخالية أو مجموعة كل األعداد الحقيقية وأعط مثاال على كل حالة ) 2 اإجابة ق سيرة: تلقى ماجد 72 رياال مقابل 4 ساعات عمل فكم ساعة يعمل بهذا المعدل حتى يحصل على 1170 رياال مراجعة تراكمية ) حل المتباينة: ص _ 2-5 وتحقق من صحة الحل )الدر س 2-4( ) 4 حل المتباينة: ف - 9 < 2 وتحقق من صحة الحل ومث له على خط األعداد )الدر س 1-4( ) 5 حل المعادلة : 2 )س - ( = 5 س + 12 بياني ا وتحقق من صحة الحل جبري ا )الدر س 4-2( إذا كان ق)س( = 4 س - ه )س( = 2 س فأوجد كلا مما يأتي: )الدر س 2-2( ) 8 ق)ج + ) ) 7 ه )2( - 5 ) 6 ق)- 2 ( الدر س -4: حل المتباينات المتعددة الخطوات 127

128 معمل الجبر Algebra Lab"b قراءة linetitle العبارات المركبة 2 تتألف العبارة المركبة من عبارتين بسيطتين مربوطتين بأحد الحرفين و أو وقبل أن تتمكن من تحديد هل العبارة المركبة صحيحة أم خطأ ينبغي أن تعرف معنى الحرفين )و( )أو( للعنكبوت ثماني أرجل و للحصان خمس أرجل. حتى تكون العبارة المركبة التي تتضمن أداة الربط )و( صحيحة يجب أن تكون كلتا العبارتين البسيطتين صحيحتين للعنكبوت ثماني أرجل صحيحة للحصان خمس أرجل خطأ وبما أن إحدى العبارتين خطأ فإن العبارة المركبة خطأ أما أداة الربط )أو( في العبارة المركبة فتعني في اللغة أحد األمرين ال كليهما فعلى سبيل المثال: في العبارة "يمكنك أن تدرس في جامعة الملك فهد أو في جامعة الملك سعود«تعني: أن تدرس في أحدى الجامعتين وليس في كليهما ولكنها في الرياضيات تعني أحد األمرين أو كليهما وحتى تكون العبارة المركبة التي تحتوي أداة الربط )أو( صحيحة يجب أن تكون واحدة على األقل من العبارتين البسيطتين صحيحة فالعبارة «للعنكبوت ثماني أرجل أو للحصان خمس أرجل«صحيحة ألن العبارة البسيطة»للعنكبوت ثماني أرجل«صحيحة تمارين: حدد إذا كانت كل من العبارات المركبة اآلتية صحيحة أم ل وفسر إجابتك: 1( العدد 5 أولي أو العدد 2 فردي 2( للمثلث ثالثة أضالع وثالث زوايا ) 11 < 5 أو < 9 7 )4 2- > 0 و < 7 )5 8 8 أو 2- > 5- )6 5 > 10 و > الف سل 4: المتباينات الخطية

129 فيما سبق در شت حل معادلت تت شمن القيمة المطلقة. واالآن أاحل متباينات مركبة تحتوي اأداة الربط )و(, واأمث ل مجموعة حلها بياني ا. أاحل متباينات مركبة تحتوي اأداة الربط )اأو(, واأمث ل مجموعة حلها بياني ا. المفردات المتباينة المركبة التقاطع التحاد حل المتباينات المركبة لماذا كانت درجة الحرارة السيليزية العظمى في مدينة الرياض في أحد أيام شهر صفر 27 ودرجة الحرارة السيليزية الصغرى 1 فإذا مثل الرمز ( ح ) درجة الحرارة فيمكن أن تكتب متباينتين لتمثيل هذا الموقف ال تقل درجة الحرارة عن 1 وال تزيد على 27 ح 1 ح 27 ويمكن دمج المتباينتين ح 1 و ح 27 مع ا دون استعمال أداة الربط )و( في متباينة واحدة كما يأتي: 1 ح 27 المتباينات التي تحتوي اأداة الربط )و(: تشك ل المتباينتان ح 1 و ح 27 مع ا متباينة مركبة وتكون صحيحة فقط إذا كانت المتباينتان المكونتان لها صحيحتين ويتكون تمثيلها البياني منطقة تداخل التمثيلين البيانيين للمتباينتين وي سمى هذا تقاطع التمثيلين البيانيين يمكن إيجاد التقاطع بتمثيل كل متباينة ثم بتحديد منطقة التقاطع س س < 7 س و س < 7 س < 7 ت قرأ العبارة س >7 على النحو اآلتي: س أكبر من أو تساوي وأقل من 7 أو تقع س بين و 7 مع تضمين العدد مثال 1 حل المتباينة المركبة وتمثيل التقاطع حل المتباينة: -2 س - < 4 ثم مثل مجموعة الحل بيانيا ا. اكتب أوال هذه المتباينة على صورة متباينتين باستعمال )و( ثم حل كال من المتباينتين 2- س - و س - < 4 اكتب المتباينتين 2- + س - + س - + < 4 + أضف إلى كل من الطرفين 1 س س < 7 بس ط مجموعة الحل هي { س 1 س> } 7 واآلن مث ل مجموعة الحل بياني ا obeikaneducation.com تمثيل 1 س أو س 1 تمثيل س < 7 تحديد تقاطع التمثيلين الدر س 4-4: حل المتباينات المركبة 129

130 تحقق من فهمك 1( حل المتباينة 6 ر+ 7 < 10 ومث ل مجموعة الحل بيانيا ا. قراءة الريا سيات على االأكثر عبارة على األكثر تعني وتقرأ: أصغر من أو يساوي ويمكن أن تقرأ: ليس أكثر من المتباينات التي تحتوي اأداة الربط )اأو(: يحتوي نوع آخر من المتباينات المركبة كلمة )أو( وتكون المتباينة المركبة التي تحتوي أداة الربط )أو( صحيحة إذا كانت إحدى المتباينتين المكونتين لها على األقل صحيحة ويتكون تمثيلها البياني من اتحاد تمثيل المتباينتين س > 2 س 1- س > 2 أو س 1- عند حل مسائل لفظية على المتباينات استعمل إحدى اإلشارتين أو عند وجود كلمات تدل على تضمين طرف المتباينة في الحل مثل على األكثر على األقل واستعمل إحدى اإلشارتين > أو> عند ورود كلمات مثل بين أقل من أكثر من مثال 2 من واقع الحياة كتابة متباينة مركبة وتمثيلها بياني ا سوت: يمكن أن تسمع أ ذن اإلنسان األصوات التي ليقل ترددها عن 20 هرتز وليزيد على هرتز. اكتب المتباينة المرك بة التي تمث ل الترددات التي ل يسمعها البشر ومث لها بيانيا ا. تبين هذه المسألة الترددات التي يسمعها البشر وعلينا أن نجد الترددات التي ال يسمعها البشر 20 هرتز التعبير اللفظي التردد من أقل أو التردد أكثر من هرتز الرموز افرض أن ل تمثل التردد 20 أو ل > < المتباينة ل ثم مث ل مجموعة الحل بياني ا تمثيل ل >20 تمثيل ل > إيجاد التحاد الحظ أن التمثيلين ال يتقاطعان ال يستطيع البشر سماع األصوات التي ترددها أقل من 20 هرتز أو التي ترددها أكبر من هرتز والمتباينة المركبة هي: { ل ل < 20 أو ل 20000> } تحقق من فهمك 2( سناعة: تنتج شركة أداة ال يقل طولها عن 11.2 سم وال يزيد على 11.4 سم اكتب متباينة مركبة تصف األطوال الممكنة لهذه األداة ومث لها بياني ا 10 الف سل 4: المتباينات الخطية

131 مثال حل المتباينة وتمثيل االتحاد حل المتباينة - 2 م أو 5 م+ 12 > 7 ومث ل مجموعة الحل بيانيا ا. - 2 م أو 5 م + 12 > 7-2 م اطرح 5 م > م 6 بس ط 5 م > 25 _25 5 م 5 _ > 5 6_ اقسم م _ 2- م - بس ط م > 5 اإر سادات للدرا سة التقاطع واالتحاد في المتباينات المركبة حرف )أو( يعني االتحاد وحرف )و( يعني التقاطع م - م > 5 إيجاد التحاد الحظ أن التمثيل البياني للمتباينة م - يحتوي جميع نقاط التمثيل البياني للمتباينة م > 5 لذا يكون االتحاد هو التمثيل البياني للمتباينة م - وتكون مجموعة الحل { م م -{ تحقق من فهمك حل كلا من المتباينتين المرك بتين اآلتيتين ومث ل مجموعة الحل بيانيا ا: اأ( أ + 1 < 4 أو أ - 1 ب( س 9 أو س < 10 تاأكد حل كلا من المتباينات المركبة اآلتية ومث ل مجموعة الحل بيانيا ا: ) 2 ر + 6 < 8- أو ر - > 10- ) 1 4 ف - 8 و ف ) 4 2 ق + 4 < 7 ) 4 أ أو أ > 5 ) 5 در اجات: ينصح صانعو الدراجات الجبلية أال يقل ضغط الهواء في اإلطارات عن 16 كجم للبوصة المربعة الواحدة وال يزيد على 6 كجم فإذا كان ضغط الهواء في إطارات دراجة 11 كجم للبوصة المربعة الواحدة فما مدى الضغط الذي ينصح بإضافته إلى اإلطارات المثاالن 1 مثال 2 تدرب وحل الم سائل حل كلا من المتباينات المركبة اآلتية ثم مث ل مجموعة الحل بيانيا ا: ) 7 ص أو ص + < 1- ) 6 ن و ن ) 9-7 م 4+ < 18 ) 8 5- < ب المثاالن 1 الدر س 4-4: حل المتباينات المركبة 11

132 ) 1 0 سرعة: تبين اللوحتان المجاورتان أقصى سرعة وأدنى سرعة على طريق عب ر عن ذلك بمتباينة ومث لها بياني ا المثال 2 ) 11 نظرية االأعداد: أوجدجميع المجموعات التييتكونكلمنهامن عددينصحيحين فرديين موجبينمجموعهماعلى األقل 8 ويقلعن 24 اكتب متباينة مرك بة تعبر عن كل تمثيل بياني فيما يأتي: ) 1 ) 1 5 ) 1 2 ) 1 4 حل كلا من المتباينتين المركبتين اآلتيتين ثم مث ل مجموعة حلها بيانيا ا: ) 1 6 ب + 2 < 5 ب ب + 9 ) ن - 1 < 16- أو - ن - 1 < 8 ) 1 8 أافاع : تعيش معظم األفاعي في المناطق التي ال تقل درجة الحرارة فيها عن 24 سيليزية وال تزيد على سيليزية اكتب متباينة تمثل درجات حرارة المناطق التي ال تعيش فيها األفاعي نادر ا ما تفقس بيوض السالحف البحرية في درجة حرارة أقل من 2 أو فوق سيليزية سلحف: ) 1 9 اكتب متباينة تمثل درجات الحرارة التي يجب أن تحضن فيها البيوض كي تفقس ) 2 0 هند سة: تنص متباينة المثلث على أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الثالث اأ( اكتب ثالث متباينات تعب ر عن العالقة بين أطوال أضالع المثلث المجاور وحلها ب( أعط أربعة أطوال ممكنة للضلع الثالث في هذا المثلث تراقب إحدى المنظمات مواقع السالحف البحرية حيث تساعد البيانات التي جمعها العلماء على تتبع أنماط هجرتها ج( اكتب متباينة مركبة تمثل قيم س الممكنة ) 2 1 تمثيلت متعددة: سوفتكتشففيهذه المسألة: الخطأ المطلقللقياسالذي يساوينصفوحدة القياس والخطأ النسبي وهونسبة الخطأ المطلق إلى القياسنفسه اأ( جدولي ا: انقل الجدول اآلتي وأكمله: القيا س الخطاأ المطلق الخطاأ الن سبي شم اأو 0 4 شم 14 )0 1( 2 = 0 05 شم 1 شم 14 شم 1 85 شم 61 2 شم 27 ب( تحليلي ا: إذا كان طول قطعة مستقيمة 12.8 سم فاحسب الخطأ المطلق ثم اكتب مدى األطوال الممكنة ج( منطقي ا: إلى أي حد تقيس دقة الطول بالسنتمترات لكي يكون الخطأ المطلق أقل من 0.05 سم 12 الف سل 4: المتباينات الخطية

133 تحدث معظم األعاصير في المناطق المدارية وقد ضربت الواليات المتحدة 4 أعاصير بين العامين 2001 م 2004 م صنفت ثالثة منها من الفئات 5 4 عرف متغير ا في كل من األسئلة )22-24( واكتب المتباينة ثم حلها وتحقق من صحة الحل: ) 2 2 عدد ناقص ثمانية اليزيد على 14 وال يقل عن 5 ) 2 ناتج جمع ثالثة أمثال عدد مع أربعة يقع بين -8 و 10 ) 2 4 ناتج ضرب عدد في -5 يزيد على 5 أو يقل عن 10 ) 2 5 أاعا سير: تصنف قوة األعاصير في 5 فئات تبع ا لسرعة رياحها اأ( اكتب متباينة مركبة تعبر عن سرعة الرياح في إعصار من الفئة ثم في إعصار من الفئة 4 ب( ما تقاطع التمثيلين البيانيين للمتباينتين اللتين كتبتهما في الفرع أ م سائل مهارات التفكير العليا سرعة الرياح الفئة ميل/ ساعة > 5 ) 2 6 اكت سف الخطاأ: حل كل من سعد ومسفر المتباينة < 2 س- 5 < 7 فأيهما إجابته صحيحة وضح تبريرك م صفر < 2 س - 5 < 7 < 2 س < 12 < 2 س < 6 _ صعد < 2 س - 5 < 7 < 8 2 س < 7 < 4 س < _7 2 تدريب على اختبار ) 0 ما مجموعة حل المتباينة: 7- < س + 2 < 4 ) 2 7 تبرير: اكتب متباينة مركبة يكون تمثيلها البياني المجموعة الخالية ومتباينة أخرى يكون تمثيلها البياني مجموعة جميع األعداد الحقيقية ) 2 8 م ساألة مفتوحة: أعط مثاال لمتباينة مركبة تحتوي )أو( وحلولها كثيرة وغير منتهية ) 2 9 اكتب: أعط مثاال من واقع الحياة يمكن تمثيله بمتباينة مركبة ثم حلها اأ( { س -5 < س> 6 { ج( }س - 9 >س> 2 { ) 1 هند سة: ما مساحة سطح المنشور الرباعي المجاور اأ( سم 2 ج( 1.6 سم 2 ب( }س - 5 >س> 2 { د( }س - 9 >س> 6 { ب( سم 2 د( 71.2 سم 2 مراجعة تراكمية يتقاضى عامل في مصنع أجر ا شهري ا مقداره 000 ريال باإلضافة إلى 20 رياال عن كل ساعة عمل إضافية فإذا أراد ) 2 الحصول في هذا الشهر على 40 رياال على األقل فما عدد الساعات اإلضافية التي يجب أن يعملها )الدر س -4( _ )الدر س )- 2 اكتب بصيغة الميل ونقطة معادلة المستقيم المار بالنقطة )1 2( وميله ) أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين 1( )6 6( )1 )الدر س )5-2 ) 4 الدر س 4-4: حل المتباينات المركبة 1

134 حل المتباينات التي تت سمن القيمة المطلقة فيما سبق در شت حل معادلت تت شمن القيمة المطلقة. واالآن أاحل متباينات القيمة المطلقة )>( واأمثلها بياني ا. أاحل متباينات القيمة المطلقة )<( واأمثلها بياني ا. لماذا تستعمل بعض الشركات متباينات القيمة المطلقة لضبط جودة منتجاتها فلعمل قطع جزر صغيرة تستعمل آلة لتقطيع حبات الجزر الطويلة إلى شرائح بطول سنتمترات فإذا تراوحت 8 سنتمتر فإن أطوال الشرائح تتراوح دقة اآللة ضمن 1_ 8 سنتمترات 2 8 سنتمتر إلى _1 بين 7_ متباينات القيمة المطلقة )>(: المتباينة س < تعني أن المسافة بين س و 0 أقل من إذن س > - و س < ومجموعة الحل هي: }س - < س < { وعند حل متباينات القيمة المطلقة تؤخذ الحالتان اآلتيتان بعين االعتبار: الحالة 1: أن تكون العبارة داخل رمز القيمة المطلقة غير سالبة الحالة 2: أن تكون العبارة داخل رمز القيمة المطلقة سالبة وتكون مجموعة الحل هي تقاطع حل هاتين الحالتين مثال 1 حل متباينات القيمة المطلقة )>( obeikaneducation.com حل كلا من المتباينتين اآلتيتين ثم مث ل مجموعة حلها بيانيا ا: اأ( م + 2 < 11 أعد كتابة م + 2 < 11 لكل من الحالتين 2 1 الحالة 2: م + 2 سالبة و الحالة 1: م + 2 غير سالبة -)م + )2 < 11 م + 2 < 11 م + 2 > 11- م < 11-2 م > م < 9 م > 1- إذن م < 9 و م > -1 وتكون مجموعة الحل هي: }م -1 < م < 9{ ب( ص - 1 < 2- ص - 1 ال يمكن أن تكون سالبة لذا ال يمكن أن تكون ص - 1 أقل من -2 وعليه ال يوجد حل لهذه المتباينة وتكون مجموعة حلها هي المجموعة الخالية Ø تحقق من فهمك 1 اأ( ن ب( 2 ج - 5 < - 14 الف سل 4: المتباينات الخطية

135 مثال 2 من واقع الحياة ا ستعمال متباينات القيمة المطلقة وافق مجلس الوزراء الموقر على إدخال اإلنترنت للمملكة رسمي ا عام 1417 ه ويقدر عدد المستفيدين منه حالي ا بنحو 10 ماليين نسمة اإنترنت: أظهرت دراسة مسحية حديثة أن 65 من الشباب يستعملون اإلنترنت. فإذا كان هامش الخطأ ضمن نقاط مئوية فأوجد مدى النسبة المئوية للشباب الذي يستعملون اإلنترنت. بما أن الفرق بين النسبة المئوية الفعلية للذين يستعملون اإلنترنت والنسبة الواردة في الدراسة أقل من أو تساوي فإن س - 65 حيث تمثل س النسبة المئوية الفعلية حل المتباينة في كل من الحالتين الحالة 1: س - 65 غير سالبة و الحالة 2: س - 65 سالبة س )س - )65 س س س 68 س 62 إذن مدى النسبة المئوية الفعلية للشباب الذين يستعملون اإلنترنت هو: }س 62 س 68{ تحقق من فهمك 2( كيمياء: درجة انصهار الجليد هي 0 سيليزية لكن خالد ا الحظ أثناء إجراء تجربة أن درجة انصهار الجليد تتغير ضمن 1 سيليزية اكتب مدى درجات الحرارة التي الحظها خالد متباينات القيمة المطلقة )<(: إن المتباينة س > تعني أن المسافة بين س و 0 أكبر من إذن س < - أو س > وتكون مجموعة الحل هي: }س س < - أو س > { وكما هو الحال في المثال السابق يجب أن نأخذ الحالتين التاليتين بعين االعتبار: الحالة 1: أن تكون العبارة داخل رمز القيمة المطلقة غير سالبة الحالة 2: أن تكون العبارة داخل رمز القيمة المطلقة سالبة مثال حل متباينات القيمة المطلقة )<( حل المتباينة ن ومث ل مجموعة حلها بيانيا ا. أعد كتابة المتباينة ن في الحالتين 2 1 أعاله الحالة ن 2: + 6 سالبة أو الحالة ن 1: + 6 غير سالبة -) ن + )6 12 ن ن ن ن 18- ن 6 ن 6- ن 2 إذن ن 2 أو ن -6 ومجموعة الحل هي: { ن ن 2 أو ن -6{ اإر سادات للدرا سة القيمة المطلقة إن مجموعة حل المتباينة أ ب حيث أ عبارة خطية بمتغير واحد ب عدد سالب هي دائم ا مجموعة األعداد الحقيقية ألن أ أكبر أو يساوي صفر دائم ا وبذلك يكون أ دائم ا أكبر من ب تحقق من فهمك ( حل المتباينة: ر ومث ل مجموعة حلها بيانيا ا. الدر س 5-4: حل المتباينات التي تت شمن القيمة المطلقة 15

136 تاأكد حل كلا من المتباينات اآلتية ومث ل مجموعة حلها بيانيا ا: ) 2 ت ) ج + 2 > 2- ) 1 ي + < 7 المثاالن 1 ) 6 ك - 5 < ) 4 ب ) 5 ن + 5 ) 7 أا سهم: بلغ سعر سهم إحدى الشركات رياال وقد تذبذب هذا السعر ضمن 0.75 ريال في اليوم أوجد مدى سعر التداول لهذا السهم مثال 2 تدرب وحل الم سائل حل كلا من المتباينات اآلتية ومث ل مجموعة حلها بيانيا ا: ) 8 2 ج ) 9 و + 5 < 8- ) 1 0 ر + 2 > 6 المثاالن 1 ) 1 1 ك - 4 > ) ه - 9 ) 1 5 ل + > 9- ) س - > 4- ) 1 5 ن + 8 < 16 ) 1 6 ر ) 1 7 غو س: يجب أن يبقى ضغط أسطوانة الغوص 116 كجم لكل بوصة مربعة بزيادة أو نقصان ال يتجاوز 227 كجم اكتب مدى الضغط المثالي ألسطوانة الغوص مثال 2 حل كلا من المتباينات اآلتية ومث ل مجموعة حلها بيانيا ا: _1 + ) ه < 8 ) ن ) ج + _ 9 2 ب - 8 _ 4 ) ه < 2 ق + _ > 7- ) ) 2 2 ) ل - 7 > 5 ) ت ) 2 6 اد خار: يد خر سعد في العادة 500 ريال شهري ا بزيادة أو نقصان ال يتجاوز 60 رياال اأ( اكتب مدى المبلغ الذي يدخره سعد شهري ا ب( مث ل هذا المدى بياني ا 16 الف سل 4: المتباينات الخطية

137 ) 2 7 كيمياء: يوجد الماء في حاالت ثالث: صلبة وسائلة وغازية ويتجمد عند درجة 0 سيليزية ويتبخر عند درجة 100 سيليزية اكتب مدى درجات الحرارة التي ل يكون فيها الماء سائال اكتب متباينة تتضمن قيمة مطلقة لكل من التمثيلت البيانية اآلتية: ) 2 8 ) 2 9 ) 0 ) 1 حيوانات: تبلغ درجة الحرارة الطبيعية لجسم الشاة السليمة 9 سيليزية وقد تزيد أو تقل عن ذلك بمقدار 1 سيليزية فما مدى درجة حرارة جسم الشاة السليمة عب ر عن كل من العبارتين اآلتيتين باستعمال متباينة تتضمن قيمة مطلقة: ) 2 تبلغ درجة الحرارة المثلى داخل الثالجة 8 ف بزيادة أو نقصان اليتجاوز 1.5 ف تمثل األغنام والماعز عصب الثروة الحيوانية فى الوطن العربى الذي يضم نحو 118 مليون رأس من األغنام و 67 مليون رأس من الماعز ) يحفظمثبت السرعةسرعة السيارةعند 88 كيلومتر ا / ساعة بزيادة أونقصان مقداره 5 كيلومترات/ساعة ) 4 يجب أن تبقى درجة حموضة بركة السباحة 7.5 بزيادة أو نقصان ال يتجاوز 0. اكتب مدى درجة الحموضة المثالية للبركة ) 5 تمثيلت متعددة: سوف تكتشف في هذه المسألة التمثيل البياني لمتباينات القيمة المطلقة في المستوى اإلحداثى اأ( جدولي ا: انقل الجدول اآلتي وأكمله وعو ض في المتباينة قيم س وقيم د )س( لكل نقطة ثم بين هل العبارة الناتجة صحيحة أم خاطئة: د) س( س - 1 النقطة د) س( س - 1 )2,4-( )2,2-( )2,0( )2,2( )2,4( سحيحة/ خاطئة سحيحة/ خاطئة ب( بياني ا: مث ل الدالة د)س( = س - 1 بياني ا ج( بياني ا: عي ن في المستوى اإلحداثي جميع النقاط التي تجعل د)س( س - 1 عبارة صحيحة بلون أحمر وعي ن جميع النقاط التي تجعل د)س( س - 1 صحيحة باللون األزرق د( منطقي ا: كو ن تخمين ا حول شكل التمثيل البياني للمتباينتين د)س( س - 1 د)س( س - 1 وأضف إلى الجدول نقاط ا جديدة للتحقق من صحة تخمينك ه( بياني ا: استعمل ما اكتشفته في هذه المسألة لتمثيل المتباينة د)س( س - الدر س 5-4: حل المتباينات التي تت شمن القيمة المطلقة 17

138 م سائل مهارات التفكير العليا ) 6 اكت سف الخطاأ: مث ل أحمد حل المتباينة 2 أ - > 1 كما في الشكل المجاور فهل كان على صواب فس ر إجابتك ) 7 تبرير: هل يتكون التمثيل البياني لمتباينة القيمة المطلقة من اتحاد تمثيلين أحيان ا أم دائم ا أم أنه ال يكون كذلك أبد ا اشرح إجابتك ) 8 تحد: بين لماذا ال يكون حل المتباينة ت > صفر مجموعة األعداد الحقيقية جميعها ) 9 م ساألة مفتوحة: اكتب متباينة قيمة مطلقة تمثل موقف ا من واقع الحياة وحلها ثم فسر الحل ) 4 0 اكتب: اشرح كيف تحدد إذا كانت متباينة القيمة المطلقة تتحول إلى متباينة مركبة تحتوي )و( أو متباينة مركبة تحتوي )أو( تدريب على اختبار ) 4 2 مجموعة حل المعادلة 2 ن - = 5 هي: اأ( 4-{ }1- ج( 1{ }1 ب( 1-{ }4 د( { 4 }4 ) 4 1 اإجابة ق سيرة : سحبت بطاقة عشوائي ا من كيس يحتوي 9 بطاقات مرقمة بأرقام مختلفة من 9-1 ما احتمال أن يكون الرقم المسحوب فردي ا مراجعة تراكمية ) 4 حل المتباينة: 6 2 ت ثم مث ل مجموعة حلها بيانيا ا. )الدر س )4-4 ) 4 4 حدد إذا كان المستقيمان ص= 2 س+ 8 س+ص= 4 متعامدين أم ل وفسر إجابتك. )الدر س 4-( ) 4 5 هند سة: يزيد قياس إحدى زوايا مثلث 10 عن قياس الزاوية الثانية وقياس الزاوية الثالثة يساوي مثلي مجموع قياسي الزاويتين األولى والثانية أوجد قياس كل من زوايا المثلث )الدر س -1( ) 4 6 حل المعادلة: 5 ت_= 20 ثم تحقق من صحة الحل: )الدر س 2-1( 18 الف سل 4: المتباينات الخطية

139 اختبار الف سل حل كلا من المتباينتين اآلتيتين ومثل مجموعة حلها على خط األعداد: ) 1 س 9 < 4- ) 2 6 ب 5 ب - ) اختيار من متعدد: لدى سعد 1 كتاب ا ولدى خالد 58 كتاب ا فكم كتاب ا يجب أن يضيف سعد إلى مجموعته ليصبح لديه عدد من الكتب أكبر مما لدى خالد اأ( 21 على األكثر ب( 27 ج( 28 على األقل د( أكثر من 0 حل كلا من المتباينات اآلتية وتحقق من صحة حلها: _1 ه > 5 ) 4 ) 5 7 ع 42- ) 6-9 م < 6- ) 7 4 ق_ + 9- ) 8-2 )س - )4 > 5 س - 1 ) 9 حديقة حيوانات: تخطط عائلة لزيارة حديقة الحيوانات ويمكنها صرف حتى 50 رياال على تذاكر الدخول فإذا كانت أسعار تذاكر الدخول كما في الجدول أدناه فاكتب متباينة تمثل هذا الموقف تذاكر دخول حديقة الحيوانات الزوار ال سعر )بالريال( 5 اأطفال 10 كبار حل كلا من المتباينتين المركبتين اآلتيتين ومث ل مجموعة حلها بيانيا ا: ) 1 0 ص - 8 < - أو ص + 5 > 19 ) ه عرف المتغير في كل مما يأتي واكتب المتباينة ثم حلها وتحقق من صحة الحل: ) 1 2 عدد ناقص 4 اليزيد على 8 ) 1 تسعة أمثال عدد ناقص أربعة يساوي ثالثة وعشرين على األقل ) 14 اختيار من متعدد: أي المتباينات المركبة اآلتية حلها ممث ل على خط األعداد أدناه اأ( 2- س < ج( س < 2- أو س ب( س 2- أو س د( 2- < س حل كلا من المتباينات اآلتية ومث ل مجموعة حلها بيانيا ا: ) 1 5 ب - 5 < ) ف > ) م + 15 ) 1 8 س - _ 4 ) 19 بيع بالتجزئة: عرض أحد المتاجر خصم ا قدره 15 رياال على أي زوج من األحذية اأ( إذا كان أعىل ثمن لزوج من األحذية رياال وأقل ثمن رياال فام مدى أثامن األحذية بعد اخلصم ب( إذا خري شخص عند رشاء زوج من األحذية ثمنه رياالت بني أن حيصل عىل خصم مقداره 15 رياال أو خصم بنسبة 15 فأي العرضني أفضل له الف سل 4: اختبار الف شل 19

140 اأنظمة المعادالت الخطية فيما سبق در شت حل المعادلت الخطية في متغير واحد. واالآن أاحل نظام معادلتين خطيتين بياني ا. أاحل نظام معادلتين خطيتين بالتعوي ص. أاحل نظام معادلتين خطيتين بالحذف. أاحل م شائل كالمية من واقع الحياة توؤول اإلى نظام من معادلتين خطيتين. لماذا حدائق: باعت حديقة الحيوانات بالريا ص في اأحد الأيام تذاكر دخول بقيمة 500 ريال. فاإذا كان شعر التذكرة 10 ريالت للكبير, 5 ريالت لل شغير, فيمكنك ا شتعمال نظام من معادلتين خطيتين لمعرفة عدد الكبار وعدد ال شغار الذين ا شتروا التذاكر عند معرفة اإجمالي عدد التذاكر المبيعة. 1 اطو الورقة طولي ا من المنتصف منظم اأفكار اأنظمة المعادالت الخطية اعمل هذه المطوية لتساعدك على تنظيم مالحظاتك مبتدئ ا بورقة A4 2 ق س النصف العلوي خمسة أجزاء بالتساوي سم األجزاء الخمسة بأرقام الدروس وعناوينها 140 الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية

141 التهيئة س س للف سل للف سللل 5 س سخي س ت سخي س اال ستعداد: هناك بديالن للتأكد من فهمك للمهارات السابقة الضرورية : أالالول االأول البديل اختبار سريع سم الزوج المرتب الممثل لكل نقطة فيما يأتي: أجب عن االختبار اآلتي انظر المراجعة السريعة قبل اإلجابة عن االختبار مراجعة سريعة سم الزوج المرتب الذي يمثل النقطة ع في المستوى اإلحداثي. مثال 1 ارسم خط ا رأسي ا من النقطة ع إلى محور السينات لت حدد اإلحداثي السيني للنقطة وهو )( ارسم خط ا أفقي ا من النقطة إلى محور الصادات لت حدد اإلحداثي الصادي للنقطة وهو )-2( إذن الزوج المرتب للنقطة ع هو ) -2( حل المعادلة ص = ص= 6 المعادلة األصلية أضف 12 إلى ص + 12 = كل من الطرفين ص= 48 بس ط _ 48 اقسم كل ص _ = الطرفين على مثال 2 ص = 16 بس ط 2( د 1( أ 4( ج ( ب 6( و 5( ه حل كل معادلة فيما يأتي: )7 2 س + 4 = 12 )8 س = - 9 )9 م + 2 = 6 )10 2 = م س + ب م ب ثابتان 11( ب = 2 ل + )-4( ب ثابت ) ص - = 40 1_ ق ع تمثل صيغة مساحة 2 1( هند سة: إذا كانت م = المثلث حيث م المساحة ق قاعدة المثلث ع ارتفاعه فأوجد مساحة المثلث الذي طول قاعدته 10 سم وارتفاعه 5 سم البديل الثاني أسئلة تهيئة إضافية على الموقع الف سل 5: التهيئة للف شل 141 5

142 حل نظام من معادلتين خطيتين ياا بيانيا بياني ا لماذا بلغت تكاليف إعداد مادة أشرطة علمية 1500 ريال وكان تسجيل الشريط الواحد يكلف 4 رياالت ويباع ب 10 رياالت ويرغب مدير اإلنتاج في معرفة عدد األشرطة التي عليه بيعها حتى يحقق ربح ا إن التمثيل البياني لنظام المعادالت يساعد على معرفة الوضع الذي يحقق ربح ا ويمكن التعبير عن تكاليف اإلنتاج الكلية بالمعادلة ص = 4 س حيث ص تمثل تكلفة اإلنتاج س عدد األشرطة المنتجة يمكن تمثيل القيمة الكلية للمبيعات بالمعادلة ص = 10 س حيث تمثل ص القيمة الكلية للمبيعات س عدد األشرطة المبيعة يمكننا تمثيل هاتين المعادلتين بياني ا من معرفة متى يبدأ تحقيق الربح وذلك بتحديد النقطة التي يتقاطع فيها المستقيمان وهو مايحدث عند بيع 250 شريط ا أي أن تحقيق الربح يبدأ عند بيع أكثر من 250 شريط ا عدد الحلول الممكنة: تشك ل المعادلتان ص = 4 س ص = 10 س نظام ا من معادلتين وي سمى الزوج المرتب الذي يمثل حال لكال المعادلتين حال للنظام فيما سبق در شت التمثيل البياني للمعادلت الخطية. واالآن أاتعرف عدد حلول نظام مكون من معادلتين خطيتين. اأحل نظام ا مكون ا من معادلتين خطيتين بياني ا. المفردات نظام من معادلتين النظام المت شق النظام الم شتقل النظام غير الم شتقل النظام غير المت شق obeikaneducation.com إذا كان للنظام حل واحد على األقل يسمى نظام ا متسق ا وتتقاطع تمثيالته البيانية في نقطة واحدة أو تشك ل مستقيم ا واحد ا إذا كان للنظام حل واحد فقط يسمى نظام ا مستقل وإذا كان له عدد ال نهائي من الحلول يسمى نظام ا غير مستقل وهذا يعني وجود عدد غير محدود من الحلول تحقق كلتا المعادلتين. إذا لم يكن للنظام أي حل يسمى نظام ا غير متسق وتشكل تمثيالته البيانية مستقيمات متوازية مفهوم اأ سا سي الحلول الممكنة اأ سف اإلى عدد الحلول اليوجد حل عدد ال نهائي واحد فقط المصطلح غير متسق متسق وغير مستقل متسق ومستقل التمثيل البياني 142 الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية

143 مثال 1 عدد الحلول استعمل التمثيل البياني المجاور لتحدد إذا كان النظام اآلتي متسق ا أم غير متسق ومستقل أم غير مستقل. اأ( ص = - 2 س + ص = س - 5 بما أن المستقيمين اللذين يمثالن المعادلتين يتقاطعان في نقطة واحدة فهناك حل واحد للنظام ويكون النظام متسق ا ومستقال ب( ص = - 2 س - 5 ص = - 2 س + بما أن المستقيمين اللذين يمثالن المعادلتين متوازيان فال يوجد حل للنظام ويكون النظام غير متسق تحقق من فهمك 1 اأ( ص = 2 س+ 1 ب( ص= س -5 ص= - 2 س + ص= - 2 س -5 اإر سادات للدرا سة عدد الحلول عندما ت كتب كل من المعادلتين على الصيغة ص= م س+ب فإن قيم م ب تحدد عدد الحلول المقارنة بين قيم م ب قيمتا م مختلفتان قيمتا م متساويتان وقيمتا ب مختلفتان قيمتا م متساويتان وقيمتا ب متساويتان عدد الحلول 1 اليوجد النهائي الحل بالتمثيل البياني: من الطرائق المستعملة في حل نظام من المعادالت تمثيلها بياني ا في المستوى البياني نفسه وإيجاد النقطة التي يتقاطع عندها المستقيمان والتي تمثل حل النظام مثال 2 الحل بالتمثيل البياني مث ل كل نظام مما يأتي بيانيا ا وأوجد عدد حلوله وإذا كان واحد ا فاكتبه: اأ( ص = - س + 10 ص = س - 2 يظهر من التمثيل البياني أن المستقيمين يتقاطعان في النقطة ) 1( ويمكن التحقق من ذلك بالتعويض عن س ب وعن ص ب 1 تحقق ص = - س + 10 المعادلة األصلية )( عوض اضرب 1 = 1 ص = س - 2 المعادلة األصلية 2-1 عوض = 1 1 اضرب إذن للنظام حل واحد هو ) 1( ب( 2 س - ص = -1 4 س - 2 ص = 6 مراجعة المفردات الم ستقيمات المتوازية ال تتقاطع أبد ا ولها الميل نفسه بما أن للمعادلتين الميل نفسه ومقطعاهما الصاديان مختلفان فالمستقيمان الممثالن للمعادلتين متوازيان وبما أنهما ال يتقاطعان في أية نقطة فال يوجد حل لهذا النظام الدر س 1-5: حل نظام من معادلتين خطيتين بياني ا 14

144 تحقق من فهمك مث ل كل نظام مما يأتي بيانيا ا وأوجد عدد حلوله وإذا كان واحد ا فاكتبه: 2 اأ( س - ص = 2 2 ب( ص = - 2 س - ص + 2 س = 9 6 س + ص = 9- يمكننا استعمال أنظمة المعادالت لحل مسائل متنوعة من واقع الحياة تتضمن متغيرين أو أكثر مثال من واقع الحياة كتابة نظام من معادلتين وحل ه ت مور: يزداد إنتاج مزرعتي نخيل من التمور بانتظام تقريب ا عبر عدد من السنين. استعمل المعلومات الواردة في الجدول أدناه للتنبؤ بالسنة التي يصبح فيها إنتاج المزرعتين متساوي ا على اعتبار أن معدل الزيادة يبقى ثابت ا خلل السنوات القادمة في كلتا المزرعتين. المزرعة الأوىل الثانية كمية االإنتاج عام 1429 ه )بالطن( معدل الزيادة ال سنوية )بالطن( 8 تعد التمور غذاء صحي ا مركز ا وطبيعي ا ومنجم ا للفيتامينات لكثرة ما بها من عناصر معدنية وفيتامينات التعبير اللفظي المتغيرات اإلنتاج زائد كمية السنوات تساوي معدل الزيادة ضرب عدد اإلنتاج الكلية كمية 1429 ه عام 1429 ه بعد س = عدد السنوات بعد 1429 ه ص = كمية اإلنتاج الكلية لتكن = = المعادالت المزرعة األولى ص المزرعة الثانية ص س س بتمثيل الدالتين: ص = 8 س + 09 ص = س بياني ا نجد أن المستقيمين يتقاطعان في النقطة 22( )485 تقريب ا استعمل التعويض للتحقق من صحة اإلجابة تحقق ص= س ص= 8 س )22( )22( =485 إذن سيكون إنتاج المزرعتين متساوي ا بعد 22 سنة من عام 1429 ه أي في عام 1451 ه إذا بقي معدل الزيادة ثابت ا في كلتا المزرعتين تحقق من فهمك ( ساعات: يرغب كل من محمود ورائد في شراء ساعة يدوية فإذا كان مع محمود 14 رياال ويوفر 10 رياالت في األسبوع ومع رائد 26 رياال ويوفر 7 رياالت في األسبوع فبعد كم أسبوع ا يصبح معهما المبلغ نفسه 144 الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية

145 تاأكد استعمل التمثيل البياني المجاور لتحدد إذا كان كل من أنظمة المعادلت اآلتية متسق ا أم غير متسق ومستقلا أم غير مستقل: مثال 1 ) 1 ص = - س + 1 ) 2 ص = س + 1 ص = س + 1 ص = س - ) 4 ص = س + ) ص = س - ص = س + س - ص = - مث ل كلا من أنظمة المعادلت اآلتية بيانيا ا وأوجد عدد حلوله وإن كان واحد ا فاكتبه: ) 6 ص = س + ) 5 ص = س + 4 ص = -س - 4 ص = 2 س + 4 مثال 2 مثال ) 7 قراءة: يقرأ كل من صالح وعبدالله رواية طويلة كما في الشكل المقابل اأ( اكتب معادلة تعبر عن عدد الصفحات التي يقرؤها كل منهما ب( مث ل كل معادلة بياني ا ج( بعد كم يوم يصبح ما قرأه صالح أكثر مما قرأه عبدالله تحقق من إجابتك وفسرها تدرب وحل الم سائل استعمل التمثيل البياني المجاور لتحدد إذا كان كل نظام فيما يأتي متسق ا أم غير متسق ومستقلا أم غير مستقل: مثال 1 ) 8 ص = - س + 4 ) 9 ص = - س - 4 ص = - س - 4 ص = س - 4 ) 1 0 س - ص = 4- ) 1 1 س - ص = 4 ص = - س + 4 س + ص = 4 مث ل كل نظام فيما يأتي بيانيا ا وأوجد عدد حلوله. وإن كان واحد ا فاكتبه: ) 1 2 ص = 4 س + 2 ) 1 ص = س - 6 ) 1 4 س + ص = 4 ص = - 2 س - ص = س + 2 س + ص = 12 مثال 2 ) 1 5 س - ص = 2- ) 1 6 س + 2 ص = ) س + ص = 4- -س + ص = 2 س = 5 ص + 2 س = الدر س 1-5: حل نظام من معادلتين خطيتين بياني ا 145

146 مثال ) 1 8 هوايات: يتنافس خالد وسعود في جمع الطوابع التذكارية فإذا كان لدى خالد 0 طابع ا يضيف إليها أسبوعي ا 40 طابع ا ولدى سعود 50 طابع ا ويضيف إليها 0 طابع ا كل أسبوع اأ( اكتب معادلة تعبر عن عدد الطوابع التي جمعها كل منهما ب( مث ل كل معادلة بياني ا ج( بعد كم أسبوع يصبح لدى كل منهما العدد نفسه من الطوابع مث ل كل نظام فيما يأتي بيانيا ا وأوجد عدد حلوله وإن كان واحد ا فاكتبه: ) 2 0 ص = 2 س _ س 2 ) 1 9 ص = ص = س + 2 ص = س - 10 ) س - 8 ص = 6 ) س + 4 ص = 24 4 س - ص = 7 س - 4 ص = ) س + ص = 10 ) 2 4 س - 6 ص = 12-2 س + ص = 6-4 س + 6 ص = 12 _1 _1 ص = 4 2 _ س + 4 ) 2 6 ) 2 5 س + 2 ص = 10 _1 _1 ص = 2 6 س + _2 2 س + ص = 10 تتيح آالت التصوير الرقمية للمصورين فرصة مشاهدة الصورة وإمكانية معالجتها وتعديلها ونقلها إلى الحاسوب وطباعتها ) 2 7 ت سوير: افرض أن ص تمثل عدد آالت التصوير التي باعها متجر )بالمئات( س تمثل عدد السنوات منذ عام 1420 ه إذا كانت المعادلة ص = 12.5 س تعبر عن عدد آالت التصوير الرقمية المبيعة في كل عام منذ عام 1420 ه والمعادلة ص= س تعبر عن عدد آالت التصوير العادية المبيعة اأ( مث ل كل معادلة بياني ا ب( ما العام الذي تتجاوز فيه مبيعات آالت التصوير الرقمية مبيعات آالت التصوير العادية ج( في أي عام ستتوقف مبيعات آالت التصوير العادية 146 الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية مث ل كلا من أنظمة المعادلت اآلتية بيانيا ا وأوجد عدد حلوله وإذا كان واحد ا فاكتبه: _ ص 8 ) 2 9 س = 6 - ) ص = 1.2 س ص = 2.4 س 4 ص س + _1 _2 = 4 ) 0 تمثيلت متعددة: سوف تكتشف في هذه المسألة طرائق متنوعة إليجاد نقطة تقاطع تمثيلي معادلتين خطيتين 2 س + = -س + 12 جبري ا اأ( جبري ا: حل المعادلة 1_ 2 س + ص= -س + 12 ب( بياني ا: حل نظام المعادلتين ص = 1_ ج( تحليلي ا: ما عالقة المعادلة في الفرع )أ( والنظام في الفرع )ب( د( لفظي ا: وضح كيف تستعمل التمثيل البياني في الفرع )ب( لحل المعادلة في الفرع )أ(

147 م سائل مهارات التفكير العليا ) 1 تحد: استعمل التمثيل البياني لحل النظام 2 س+ ص= س+ 4 ص= 5 4 س+ 5 ص= 6 7 ) 2 تبرير: بي ن هل النظام الذي يتكون من معادلتين وتشك ل كل من النقطتين )0 0( )2 2( حال له تكون له حلول أخرى أحيان ا أم دائم ا أم ليس له أية حلول أخرى ) أي من أنظمة المعادلت اآلتية يختلف عن األنظمة الثلثة األخرى فس ر إجابتك : 4 س - ص = 5-2 س + ص = 1- -س + 4 ص = 8 س - 6 ص = 6 4 س + 2 ص = س + 6 ص = 18 س - 2 ص = 1 2 س + ص = 18 ) 4 م ساألة مفتوحة: اكتب ثالث معادالت تشك ل مع المعادلة ص = 5 س- أحد أنظمة المعادالت اآلتية: غير متسق متسق ومستقل متسق وغير مستقل على الترتيب ) 5 اكتب: صف مزايا ومساوئ استعمال التمثيل البياني لحل أنظمة المعادالت الخطية تدريب على اختبار ) 6 اإجابة ق سيرة: يمكن ألحد أنواع البكتيريا مضاعفة عدده كل 20 دقيقة فإذا كان عدد البكتيريا في الساعة 00 : 9 صباح ا 4500 فكم يصبح عند الساعة 12 00: ظهر ا ) 7 هند سة: ق صت قطعة من السلك طولها 84 سنتمتر ا إلى قطع متساوية ثم ألصقت من نهاياتها لتشك ل أحرف مكعب فما حجم هذا المكعب اأ( 294 سم ج( 1158 سم ب( 4 سم د( 2744 سم مراجعة تراكمية ) 8 اختبار: يبين الجدول المجاور درجات هيثم في اختبارات للرياضيات وبقي له اختبار رابع وهو بحاجة إلى معدل ال يقل عن 92 حتى يحصل على التقدير أ )الدر س -4( اأ( إذا كان م يمثل درجته يف االختبار الرابع فاكتب املتباينة املمثلة هلذا املوقف ب( إذا أراد هيثم احلصول عىل التقدير أ يف الرياضيات فكم جيب أن تكون درجته يف االختبار الرابع ج( هل إجابتك معقولة فرس ذلك االختبار 1 2 الدرجة _1 س + 2 )الدر س )4- ) 9 اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة )- 1( والمعامد للمستقيم ص = الدر س 1-5: حل نظام من معادلتين خطيتين بياني ا 147

148 معمل الحا صبة البيانية حل نظام من معادلتين خطيتين يمكنك استعمال الحاسبة البيانية TI - nspire لتمثيل نظام من معادلتين وحله. ن صاط 1 حل نظام من معادلتين خطيتين حل النظام اآلتي مقرب ا إلى أقرب جزء من مئة: 5.2 س + ص = س - ص = 2.11 الخطوة 1: حل كل معادلة بالنسبة للمتغير ص إلدخالها في الحاسبة. 5.2 س + ص = 7.48 المعادلة األولى 5.2 س + ص س = س اطرح 5.2 س من كال الطرفين ص = س بس ط 6.42 س - ص = 2.11 المعادلة الثانية 6.42 س - ص س = س اطرح 6.42 س من كال الطرفين - ص = س بس ط )1-( )-ص( = )1-( 2.11( س( اضرب كال الطرفين في )1-( الخطوة 2: مث ل كال من المعادلتين بياني ا إليجاد الحل. ص = س بس ط " افتح اآللة الحاسبة بالضغط على ثم اختر. مالحظة: إذا ظهرت شاشة فاختر إذا أردت حفظ الملفات السابقة أو إذا أردت حذفها. اختر فتظهر الشاشة المجاورة. اكتب المعادلة األولى f1(x) = x ثم اضغط المفتاح فيظهر التمثيل البياني. " اضغط المفتاح ثم اكتب المعادلة الثانية f2(x) = x ثم اضغط ليظهر التمثيل البياني المجاور. اضغط واختر منها ومنها اختر وقم بالضغط على المستقيم األول ثم المستقيم الثاني فتظهر لك نقطة التقاطع (.17,0.82) والتي هي حل النظام. وعليه يكون حل النظام إلى أقرب جزء من مئة هو ( 0.82 ).17. من الطرق التي يمكنك استعمالها لحل معادلة بمتغير واحد تمثيل نظام المعادلتين الذي نكو نه من تلك المعادلة ثم حله. وإلجراء ذلك اكتب نظام ا من المعادالت باستعمال طرفي المعادلة ثم استعمل الحاسبة البيانية لحله. 148 الف صل 5: اأنظمة المعادالت الخطية

149 ن صاط 2 ا صتعمال نظام من معادلتين لحل معادلة خطية حل المعادلة 5 س+ 6 = -4 مستعمال نظام ا من معادلتين. الخطوة 1: اكتب نظام ا من معادلتين على أن يساوي كل طرف من طرفي المعادلة ص. الخطوة 2: ص = 5 س + 6 المعادلة األولى ص = -4 المعادلة الثانية مث ل كال من هاتين المعادلتين بياني ا مستعمال المفاتيح التالية بالترتيب : حدد نقطة التقاطع مستعمال المفاتيح التالية بالترتيب : ثم قم بالضغط على المستقيم األول ثم المستقيم الثاني فتظهر لك نقطة التقاطع. أدخل المعادلة األولى + 6 5x f1(x) = ثم اضغط وأدخل المعادلة الثانية اضغط مفتاح فيظهر التمثيل البياني 4- = f2(x) ثم اضغط التالي: فيكون الحل = -2 تمارين: استعمل الحاسبة البيانية لحل كل من أنظمة المعادالت اآلتية وقر ب الحل إذا كان كسر ا عشري ا إلى أقرب جزء من مئة: )1 ص = 2 س - )2 ص = 6 س + 1 ص = 0.4- س + 5 ص =.2- س - 4 ) 7 س - 2 ص = 16 )4 س + 2 ص = س + 6 ص = 2. 5 س + ص = 9 ) س ص = 1.60 )6 75 س ص = س + ص = 8.24 س - 10 ص = 70 استعمل اآللة الحاسبة البيانية لحل كل من المعادالت اآلتية وقر ب الحل إذا كان كسر ا عشري ا إلى أقرب جزء من مئة: ) س + = 8 س - 1 )7 4 س - 2 = 6- )8 = 1 + س_ 2 10( اكتب: وضح ملاذا يمكنك حل معادلة مثل ر= أ س + ب بحل نظام املعادلتني: ص = ر ص= أ س + ب. تو صع 1-5: معمل الحا سبة البيانية: حل نظام من معادلتين خطيتين 149

150 حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعوي س لماذا فيما سبق در شت حل نظام مكون من معادلتين خطيتين بياني ا. واالآن أاحل نظام ا مكون ا من معادلتين بالتعوي ص. أاحل م شائل من واقع الحياة )تت شمن نظام ا من معادلتين( با شتعمال التعوي ص. المفردات التعوي ص في إحدى السنوات أنتجت مزرعة ناصر 16 طن ا من التمور بينما أنتجت مزرعة محمد 20 طن ا ثم بدأ إنتاج المزرعتين يتناقص سنوي ا فبلغ في السنة التالية 1 طن ا لمزرعة ناصر و 16 طن ا لمزرعة محمد فإذا استمر تناقص إنتاج كل من المزرعتين وفق المعدل نفسه فمتى يتساوى اإلنتاج السنوي للمزرعتين الحل بالتعوي س: يمكنك استعمال نظام مكو ن من معادلتين إليجاد متى يتساوى إنتاج المزرعتين وإحدى طرائق إيجاد الحل الدقيق لنظام المعادالت التعويض مفهوم اأ سا سي الحل بالتعوي س الخطوة 1: حل إحدى المعادلتين على األقل باستعمال أحد المتغيرين إذا كان ذلك ضروري ا الخطوة 2: عوض المقدار الناتج من الخطوة )1( في المعادلة الثانية ثم حلها اإلى اأ سف الخطوة : عوض القيمة الناتجة من الخطوة )2( في أي من المعادلتين وحلها إليجاد قيمة المتغير الثاني واكتب الحل كزوج مرتب obeikaneducation.com مثال 1 حل نظام من معادلتين بالتعوي س استعمل التعويض لحل النظام اآلتي: إحدى المعادلتين مكتوبة أساس ا بالنسبة إلى ص الخطوة 1: ص = 2 س + 1 س + ص = الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية الخطوة 2: عوض 2 س + 1 بدال من ص في المعادلة الثانية س + ص = -9 المعادلة الثانية س + 2 س + 1 = -9 عوض عن ص ب 2 س س + 1 = -9 اجمع الحدود المتشابهة 5 س = -10 اطرح )1( من كل الطرفين س = -2 اقسم كل الطرفين على 5 الخطوة : عوض -2 بدال من س في أي من المعادلتين إليجاد قيمة ص ص = 2 س + 1 المعادلة األولى = 2 )2-( + 1 عوض عن س ب )2-( بس ط = - إذن الحل هو: )-2 -( تحقق من فهمك 1 اأ( ص = 4 س ب( 2 س + 5 ص = -1 5 س + ص = 1- ص = س + 10

151 وإذا لم يكن أحد المتغيرين مكتوب ا وحده في طرف إحدى المعادلتين في النظام فحل إحدى المعادلتين أوال بالنسبة لهذا المتغير ثم عو ض لحل النظام مثال 2 الحل ثم التعوي س استعمل التعويض لحل النظام اآلتي: س + 2 ص = 6 س - 4 ص = 28 الخطوة 1: حل المعادلة األولى بالنسبة للمتغير س ألن معامل س= 1 س + 2 ص = 6 المعادلة األولى س + 2 ص - 2 ص = 6-2 ص اطرح 2 ص من كل الطرفين. س = 6-2 ص بس ط الخطوة 2: عوض عن س ب ) 2-6 ص( في المعادلة الثانية إليجاد قيمة ص )6 2 ص( ص = 28 عوض عن س ب ) 2-6 ص( 6 ص ص = 28 خاصية التوزيع 10 ص - 18 = 28 اجمع الحدود المتشابهة 10 ص = اطرح 18 من كل الطرفين - 10 ص = 10 بس ط ص = -1 اقسم كل الطرفين على -10 الخطوة : أوجد قيمة س بالتعويض في المعادلة األولى س + 2 ص = 6 المعادلة األولى س + 2 )1-( = 6 عوض عن ص ب )1-( س - 2 = 6 بس ط س = 8 أضف 2 إلى كل الطرفين الحل هو )8-1( تحقق من فهمك 2 اأ( 4 س + 5 ص = 11 2 ب( س - ص = -9 ص - س = 1-5 س - 2 ص = 7 وبصورة عامة إذا كانت نتيجة حل نظام من معادلتين جملة خطأ مثل = -2 فال يوجد حل للنظام في هذه الحالة أما إذا كانت النتيجة متطابقة مثل = فهناك عدد ال نهائي من الحلول مثال اإر سادات للدرا سة سيغة الميل والمقطع إذا ك تبت كل من المعادلتين بصيغة الميل والمقطع )ص= م س+ب( فيمكن مساواتهما مع ا ثم إيجاد قيمة س وتعويضها إليجاد قيمة ص اإر سادات للدرا سة النظام غير الم ستقل هناك عدد ال نهائي من الحلول للنظام في المثال ألنه عند كتابة المعادلتين بصيغة الميل والمقطع تكونان متكافئتين ولهما التمثيل البياني نفسه عدد ال نهائي من الحلول اأو اليوجد للنظام حل حل النظام اآلتي مستعمل التعويض: ص = 2 س س + ص = 12- عوض عن ص ب ) 2 س- 4 ( في المعادلة الثانية المعادلة الثانية - 6 س + ص = -12 عوض عن ص ب ) 2 س- 4 ( - 6 س + ) 2 س - 4( = -12 خاصية التوزيع - 6 س + 6 س - 12 = 12- اجمع الحدود المتشابهة -12 = -12 بما أن الجملة الناتجة تشكل متطابقة لذا يوجد عدد ال نهائي من الحلول الدر س 2-5: حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعوي ص 151

152 تحقق من فهمك حل كلا من النظامين اآلتيين مستعمل التعويض. اأ( 2 س - ص = 8 ب( 4 س - ص = 1 ص = 2 س - 6 ص - 8 س = 2- حل م سائل من واقع الحياة: يمكنك استعمال التعويض لحل مسألة من واقع الحياة تتضمن نظام ا من معادلتين مثال 4 من واقع الحياة كتابة نظام من معادلتين وحله اأجهزة: باع متجر 125 جهاز تسجيل وسم اعة بسعر ريالت لجهاز التسجيل الواحد و ريال للسم اعة الواحدة فإذا كان ثمن مبيعاته من هذه األجهزة ريال. فكم جهاز ا باع من كل نوع لتكن ج= عدد أجهزة التسجيل ت= عدد السماعات 125 عدد الوحدات المبيعة ج ت ال سعر ج ت فتكون المعادلتان هما: ج + ت = ج ت = الخطوة 1: حل المعادلة األولى بالنسبة للمتغير ج ج + ت = 125 المعادلة األولى ج + ت - ت = ت اطرح ت من كل الطرفين ج = ت بس ط الخطوة 2: عوض عن ج ب )125- ت( في المعادلة الثانية ج ت = المعادلة الثانية ) ت( ت = عوض عن ج ب )125 ت( ت ت = خاصية التوزيع 86 ت = اجمع الحدود المتشابهة الخطوة : عوض عن ت ب )72( في إحدى المعادلتين إليجاد قيمة ج ج + ت = 125 المعادلة األولى ج + 72 = 125 عوض عن ت ب )72( ج = 5 اطرح 72 من كل الطرفين إذن باع المتجر 5 جهاز تسجيل 72 سم اعة تحقق من فهمك - 86 ت = اطرح من كل الطرفين ت = 72 اقسم كل الطرفين على -86 اإر سادات للدرا سة تحقق من سحة حلك بعد إيجاد قيم المتغيرين عوض بهما في كلتا المعادلتين لتتحقق من صحة الحل 4( ريا سة: مجموع النقاط التي سجلها فريقان في إحدى مباريات كرة اليد 1 نقطة فإذا كان عدد نقاط الفريق األول يساوي 5.2 مرة عدد نقاط الفريق الثاني فما عدد نقاط كل فريق 152 الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية

153 تاأكد حل كلا من األنظمة اآلتية مستعمل التعويض: ) 2 2 س + ص = 4 ) س - ص = 1 ) 1 س = ص - 2 االأمثلة س + ص = 2 4 س + 6 ص = 9 س = ص + ) 4 هند سة: إذا كان مجموع قياسي الزاويتين س ص يساوي 180 وقياس الزاوية س يزيد بمقدار 24 على قياس الزاوية ص فأجب عما يأتي: اأ( اكتب نظام ا من معادلتين لتمثيل هذا الموقف ب( أوجد قياس كل زاوية مثال 4 تدرب وحل الم سائل حل كلا من األنظمة اآلتية مستعمل التعويض: ) 5 ص = 4 س + 5 ) 6 ص = س - 4 ) 7 ص = س - 2 االأمثلة س + ص = 17 ص = 2 س - 5 ص = 2 س - 5 ) 8 2 س + ص = ) 9 س + 4 ص = - ) = 2 س - ص 4 س + 4 ص = 8 س + 2 ص = 1-8 س - 4 ص = 4- ) 1 1 س = ص - 1 ) 1 2 ص = - 4 س + 11 ) 1 ص = - س س + ص = 1- س + ص = 9 2 س + ص = 1 ) 1 4 س + ص = 5- ) س - ص = 5 ) س + 4 ص = 20 6 س + 2 ص = 10 -س + ص = 1 10 س - 8 ص = 40- السياحة في بالدنا متنفس في اإلجازات لألسر والوافدين والسياح لما حبا الله به البالد من مظاهر طبيعية وآثار تاريخية تمنح زائريها الراحة والتوازن الذهني والجسماني ) 1 7 سياحة: يبين الجدول أدناه العدد التقريبي لزوار منطقتين سياحيتين في المملكة خالل عام 1425 ه ومعدل التغير باآلالف خالل السنة الواحدة: مثال 4 المنطقة اأ ب عدد الزو ار 40 األف ا 17 0 األف ا معدل التغير )باالآالف في ال سنة الواحدة( زيادة 0 8 زيادة 1 8 اأ( عر ف المتغيرات واكتب معادلة تمثل عدد زوار كل منطقة ب( إذا استمرت الزيادة بالمعدل نفسه فبعد كم سنة تتوقع أن يصبح عدد الزو ار متساوي ا في المنطقتين الدر س 2-5: حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعوي ص 15

154 ) 1 8 ريا سة: يبين الجدول المجاور الزمن المسجل لالعبين في سباقات الماراثون خالل عامي 1425 ه 140 ه اأ( إذا سجل الزمن لكل منهما بالساعات والدقائق والثواني فأعد كتابته ألقرب دقيقة ب( اعتبر العام 1425 ه صفر ا وافترض ثبات معدل التغير بعد عام 1425 ه فاكتب معادلة تمثل الزمن المسجل )ص( لكال الالعبين في أي عام ج ) إذا استمر التغير في االتجاه نفسه فهل يسجالن الزمن نفسه فس ر إجابتك العام 1425 ه 140 ه اللعب اأ 1:51:9 1:49:1 اللعب ب 1:54:4 1:58:0 م سائل مهارات التفكير العليا ) 1 9 تحد : كان عدد المتطوعين في العمل الخيري في إحدى القرى 60 متطوع ا فإذا كانت نسبة الرجال إلى النساء 5 7: فأوجد عدد كل من الرجال والنساء المتطوعين ) 2 0 تبرير: قارن بين حل نظام من معادلتين بكل من: طريقة التمثيل البياني وطريقة التعويض ) 2 1 م ساألة مفتوحة: أنشئ نظام ا من معادلتين له حل واحد ووضح كيف يمكن أن يعبر عن مسألة من واقع الحياة وصف داللته ) 2 2 اكتب: وضح كيف تحدد األفضل تعويض ا عند استعمال طريقة التعويض لحل نظام من معادلتين تدريب على اختبار ) 2 أي األنظمة اآلتية له حل واحد ج( ص= 5 س+ 1 اأ( ص= - س +4 4 س+ص= 10-6 س - 2 ص= -8 ب( س- 2 ص= 8 د( س+ص = 1 2 س= 4 ص+ 9 ص= - س ) 2 4 ما مجموعة حل المعادلة: 2 ف = 16 إذا كان ف عدد ا صحيح ا اأ( { 0 } 8 ج( { 8- } 8 ب( { 8- } 0 د( { 8- } 8 0 مراجعة تراكمية مث ل كلا من أنظمة المعادلت اآلتية بيانيا ا ثم حدد إذا كان له حل واحد أم عدد ل نهائي من الحلول أم ليس له حل وإن كان له حل واحد فاكتبه: )الدر س 1-5( ) 2 7 س + ص = 1 ) 2 6 ص = س + 5 ) 2 5 س = 1 2 س - ص = 7 ص = س - 2 ص + س = حل كل متباينة فيما يأتي وتحقق من صحة الحل: )الدر س -4( _2 ف ) 0 ) > ن ) ف ) 1 اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين 6( )1 1( )1 )الدر س )2-154 الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية

155 فيما سبق در شت حل نظام من معادلتين بالتعوي ص. واالآن أاحل نظام ا من معادلتين با شتعمال طريقة الحذف بالجمع. أاحل نظام ا من معادلتين با شتعمال طريقة الحذف بالطرح. المفردات الحذف حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف با ستعمال الجمع اأو الطرح لماذا يزيد عدد األشهر )أ( التي ترتفع فيها درجة الحرارة العظمى في مدينة الرياض على 0 س بمقدار شهرين على عدد األشهر )ب( التي تنخفض فيها عن 0 س ويمثل النظام اآلتي هذا الموقف: أ + ب = 12 أ - ب = 2 الحذف با ستعمال الجمع: إذا جمعت هاتين المعادلتين فسوف يتم حذف المتغير )ب( وت سمى طريقة الجمع أو الطرح في حل النظام الحذف مفهوم اأ سا سي الخطوة 1: لآلخر اكتب النظام على أن يكون الحدان المتشابهان اللذان معامل أحدهما معكوس بعضهما فوق بعض الخطوة 2: اجمع المعادلتين أو اطرحهما للتخلص من أحد المتغيرين ثم حل المعادلة الخطوة : الحل بالحذف اأ سف اإلى عوض القيمة الناتجة في الخطوة 2 في إحدى المعادلتين وحلها إليجاد المتغير الثاني واكتب الحل كزوج مرتب obeikaneducation.com مثال 1 الحذف با ستعمال الجمع استعمل الحذف لحل النظام: 4 س + 6 ص = 2 الخطوة 1: كال معاملي 6 ص - 6 ص معكوس لآلخر س - 6 ص = الخطوة 2: اجمع المعادلتين 4 س + 6 ص =2 س - 6 ص = 7 س =5 حذف المتغير ص. _5 7 = 7 س _ 7 س = 5 بس ط. اقسم كل الطرفين على. 7 الخطوة : عوض عن س ب 5 في إحدى المعادلتين إليجاد قيمة ص إذن الحل هو )5 2( 4 س + 6 ص = 2 المعادلة األولى )5( ص = 2 عوض عن س ب 5 6 ص + 20 = 2 اضرب 6 ص = 2-20 اطرح 20 من كل الطرفين 6 ص = 12 بس ط _12 6 = 6 ص _ 6 ص = 2 بس ط اقسم كل الطرفين على 6 الدر س -5: حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف با شتعمال الجمع اأو الطرح 155

156 تحقق من فهمك 1 اأ( - 4 س + ص = - 1 ب( 4 ص + س = 22 4 س - 5 ص = 5 س - 4 ص = 14 يمكنك استعمال طريقة الحذف إليجاد عددين محددين يرتبطان مع ا بعالقة مثال 2 كتابة نظام من معادلتين وحله عددان سالب ثلثة أمثال األول مضاف ا إليه خمسة أمثال الثاني يساوي -11 وثلثة أمثال األول مضاف ا إليه سبعة أمثال الثاني يساوي -1. فما العددان سالب ثالثة أمثال العدد األولي زائد خمسة أمثال العدد الثاني يساوي س + 5 ص = 11- قراءة الريا سيات الحذف: إذا أدى جمع أو طرح معادلتين إلى أن يكون ناتج معاملي أحد المتغيرين صفر ا يقال عندئذ إنه تم حذف هذا المتغير ثالثة أمثال العدد األول زائد سبعة أمثال العدد الثاني يساوي -1. س + 7 ص = 1- الخطوتان 2: 1 اكتب المعادلتين رأسي ا ثم اجمعهما - س + 5 ص = 11- س+ 7 ص =-1 12 ص = -12 حذف المتغير األول س. _12- = 12 ص _ 12 ص = -1 بس ط. 12 اقسم كل الطرفين على 12 الخطوة : عوض عن ص ب -1 في إحدى المعادلتين إليجاد قيمة س س + 7 ص = -1 المعادلة الثانية س + 7)-1( = -1 عوض عن ص ب -1 س + )7-( = 1- بس ط. س + )7-( + 7 = أضف 7 إلى كل الطرفين. العددان هما 2-1 س = 6 بس ط. _6 = اقسم كل الطرفين على. س _ س = 2 بس ط. تحقق: - س + 5 ص = -11 المعادلة األولى تحقق من فهمك -)2( + 5)-1( -11 عوض عن س ب 2 وعن ص ب = 11- بس ط س + 7 ص = -1 المعادلة الثانية )2( + 7)-1( -1 عوض عن س ب 2 وعن ص ب = 1- بس ط 2( أوجد العددين اللذين مجموعهما يساوي -10 وسالب ثالثة أمثال العدد األول ناقص العدد الثاني يساوي 2 اإر سادات للدرا سة معاملت: عندما يتساوى معامال متغير يؤدي طرح المعادلتين إلى حذفه وعندما يكون أحد المعاملين معكوس ا لآلخر يؤدي جمع المعادلتين إلى حذفه أيض ا 156 الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية

157 الحذف با ستعمال الطرح: يمكنك أحيان ا حذف متغير بطرح معادلة من أخرى مثال من اختبار الحذف با ستعمال الطرح حل النظام: 5 ر + 2 ت = 6 9 ر + 2 ت = 22 ) 5 ) 9 ج( 4( )7- د( ( 4 - _2 اأ( 7-( )15 ب( ( 7 _8 اقراأ الفقرة: بما أن كلتا المعادلتين تشتمل على 2 ت فيمكن حل النظام بالحذف باستعمال الطرح حل الفقرة: الخطوة 1: اطرح المعادلتين 5 ر + 2 ت = 6 اكتب نظام المعادلتين على أن تكون الحدود 9 ر + 2 ت = 22 المتشابهة بعضها تحت بعض. - 4 ر = -16 حذف المتغير ت ر = 4 بس ط الخطوة 2: عوض عن ر ب 4 في إحدى المعادلتين إليجاد قيمة ت 5 ر + 2 ت = 6 المعادلة الولى )4( ت = 6 ر = 4 2 ت + 20 = 6 بس ط 2 ت = 6-20 اطرح 20 من كل الطرفين 2 ت = -14 بس ط ت = -7 بس ط فيكون الحل )4-7( واإلجابة الصحيحة هي ج تحقق من فهمك ( حل النظام: 8 ب + ج = 11 8 ب + 7 ج = 7 اأ( 1.5( )1- ب( 1.75( )1- ج( 1.75( )1 د( 1.5( )1 اهتم اإلسالم بالعمل اليدوي المهني والتقني فمارسه الرسول صلى الله عليه وسلم والصحابة والتابعون كوسيلة إنتاجية وقيمة هامة تؤدي إلى تطور البالد وبناء حياة اإلنسان والمجتمع مثال 4 من واقع الحياة كتابة نظام من المعادالت وحله وظائف: يعمل كل من عبدالعزيز وعبدالرحمن في متجر فيحصل عبدالعزيز على 8.5 ريالت في الساعة وعبدالرحمن على 7.5 ريالت في الساعة وبلغ مجموع ما حصل عليه خلل يومين ريال وفي اليومين التاليين ضاعف عبدالرحمن عدد ساعات عمله فحصل على 412 ريال فما عدد الساعات التي عملها كل منهما في اليومين األولين افهم: أنت تعلم مقدار ما يحصل عليه كل منهما في الساعة ومجموع ما حصال عليه مع ا الدر س -5: حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف با شتعمال الجمع اأو الطرح 157

158 خطط: افرض أن ج = عدد ساعات عمل عبدالعزيز د = عدد ساعات عمل عبدالرحمن أجرة عبد العزيز زائد أجرة عبد الرحمن تساوي ريال 8.50 ج أجرة عبد العزيز د = + زائد أجرة عبد الرحمن تساوي 412 ريال 412 )2(7.50 د = 8.5 ج + حل: اطرح المعادلتين للتخلص من أحد المتغيرين ثم حل المعادلة الناتجة في المتغير اآلخر اكتب المعادلتين رأسيا ا 8.50 ج د = ج+ 2(7.50 (د = ج د = ج + 15 د =412 بس ط د = اطرح لحذف المتغير ج. _ = د_ بس ط. د = 15 اقسم كل الطرفين على واآلن عوض عن د ب 15 في إحدى المعادلتين إليجاد قيمة ج 8.50 ج د= المعادلة األولى 8.50 ج )15( = عوض عن د ب ج + = بس ط 8.50 ج = 187 اطرح من كل الطرفين ج = 22 اقسم كل الطرفين على 8.5 تحقق: عوض كال المتغيرين في المعادلة األخرى للتأكد من صحة الحل إذا كان ج= 22 د= 15 فإن +)22( 8.5 =)15( وعليه ففي اليومين األولين عمل عبدالعزيز 22 ساعة وعبدالرحمن 15 ساعة تحقق من فهمك اإر سادات للدرا سة طريقة اأخرى: يمكنك ضرب إحدى المعادلتين في )-1( ثم جمع المعادلتين بدال من طرحهما 4( حفلت: أقام مسفر ومحمود حفال بمناسبة نجاحهما فإذا كان عدد األصدقاء الذين دعاهم مسفر يقل ب 5 عن الذين دعاهم محمود وكان مجموع األصدقاء المدعوين 47 فكم شخص ا دعا كل منهما تاأكد حل كلا من أنظمة المعادلت اآلتية مستعمل طريقة الحذف: ) 1 5 م - ب = 7 ) 2 8 س + 5 ص = 8 ) 7 ف + ج = 6-7 م - ب = 11-8 س + 2 ص = 4 7 ف - 2 ج = 1- المثاالن 1 مثال ) 4 2 ما العددان اللذان مجموعهما 24 وخمسة أمثال األول ناقص الثاني يساوي 12 مثال ) 5 4 طلب: يزيد عدد طالب المرحلة االبتدائية في مدينة ما على عدد طالب المرحلة المتوسطة ب 18 ألف طالب فإذا علمت أن عدد الطالب في المرحلتين 44 ألف طالب فما عدد الطالب في كل مرحلة 158 الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية

159 تدرب وحل الم سائل حل كلا من أنظمة المعادلت اآلتية مستعمل طريقة الحذف: ) 8-4 س + 5 ص = 17 ) 7 ص + ز = 4 ) 6 -ف + و = 7 المثاالن 1 ف + و = 1 ص - ز = 8 4 س + 6 ص = 6- ) 9 أ + 4 ب = 4- ) س + 6 ص = 78 ) س - 2 ص = 1 أ + 10 ب = 16- س - 6 ص = 0-10 س - 2 ص = 5 مثال ) ما العددان اللذان مجموعهما 22 والفرق بينهما 12 ) 1 ما العددان اللذان مجموعهما 11 وثالثة أمثال أحدهما ناقص اآلخر يساوي - مثال ) سحن سيارات: يمثل الجدول أدناه تكاليف شحن عدد من السيارات الصغيرة والكبيرة من مدينة إلى مدينة أخرى أوجد أجرة شحن كل من السيارة الصغيرة والكبيرة عدد ال سيارات ال سغيرة 2 2 عدد ال سيارات الكبيرة 5 حل كلا من أنظمة المعادلت اآلتية مستعمل طريقة الحذف: االأجرة الكلية )بالريال( _ 2 ) س + ص = 6 4 _2 ص = ) )س + 2 ص( = 8 ) 1 6 _1 س + 2 س ص = 7 ص = _1 4 س - _2 _1 4 س + 4 ص = 12 افت تح مهرجان جازان الشتوي األول الذي تنظمه لجنة التنشيط السياحي بالمنطقة في عام 1427 ه ويشتمل على ألعاب ترفيهية وعروض ومسابقات فنية ورياضية ) 18 فن العمارة: يبلغ مجموع ارتفاعي برجي المملكة والفيصلية مع ا 567 متر ا ويزيد ارتفاع برج المملكة على برج الفيصلية ب متر ا اأ( ما ارتفاع برج المملكة ب( ما ارتفاع برج الفيصلية ) 1 9 سباق الدرجات: شارك 80 متسابق ا في سباق الدراجات الهوائية ضمن ملتقى روائع جازان الرابع من فئتي الكبار والصغار وكان عدد المشاركين من فئة الصغار أكثر من عدد المشاركين من فئة الكبار ب 10 اأ( افرض أن س يمثل عدد المشاركين في فئة الصغار ص يمثل عدد المشاركين في فئة الكبار فاكتب نظام ا من معادلتين يمث ل هذا الموقف ب( استعمل الحذف لحل هذا النظام ج( فس ر الحل في سياق هذا الموقف د( مث ل هذا النظام بياني ا للتأكد من صحة الحل ) 2 0 تمثيلت متعددة: لديك 9 قطع نقد 9 مشابك ورق استعمل 9 منها على األكثر إلنشاء عدد معين من النقاط وافترض أن كل مشبك قيمته نقطة واحدة وكل قطعة نقد قيمتها نقاط وأن ن تمثل قطعة نقد م تمثل مشبك ورق فمثال : 2 ن + م = + = 9 نقاط الدر س -5: حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف با شتعمال الجمع اأو الطرح 159

160 اأ( ح سي ا: كيف يمكنك أن تحصل على 15 نقطة مستعمال كال النوعين قارن النمط الذي حصلت عليه بما حصل عليه زمالؤك ب( تحليلي ا: مستعمال 9 قطع اكتب نظام ا من معادلتين وحله إليجاد عدد مشابك الورق وقطع النقد الالزمة للحصول على 15 نقطة ج( جدولي ا: أنشئ جدوال يبين عدد مشابك الورق المستعملة والعدد الكلي للنقاط إذا كان عدد قطع النقد د( لفظي ا: هل تتطابق النتيجة في الجدول مع نتيجة )اإلجابة عن الفرع ب( فس ر إجابتك م سائل مهارات التفكير العليا ) 2 1 م ساألة مفتوحة: أنشئنظام امنمعادلتينيمكنحلهبحذفأحدمتغيريهباستعمالالجمع ثماكتبقاعدةعامةإلنشاءمثلهذهاألنظمة ) 2 2 تبرير: إذا كانت النقطة )- 2( تمثل حل نظام معادلتين وكانت إحدى معادلتيه هي س+ 4 ص= 5 فأوجد المعادلة الثانية لهذا النظام وفس ر كيف توصلت إليها ) 2 تحد: إذا كان ناتج ضرب عدد في 7 يساوي 182 ومجموع رقميه يساوي 8 فحدد المتغيرات واكتب نظام ا من معادلتين يمكنك استعماله إليجاد هذا العدد ثم حل النظام وأوجد العدد ) 2 4 اكتب: بين متى يكون من المفيد استعمال الحذف لحل نظام من معادلتين تدريب على اختبار ) 2 6 ما حل نظام المعادلتين اآلتيتين س + 4 ص = 1 2 س - ص = 9- ) 2 5 إذا استمر النمط اآلتي فما العدد الثامن اأ( )1 0( ج( ليس له حل ب( ( - 1( د( يوجد عدد النهائي من الحلول 8 _ 81 4 _ 27 2 _9 2 _ _ ج( 64 اأ( _ _ د( 64 ب( مراجعة تراكمية حل كلا من أنظمة المعادلت اآلتية مستعمل التعويض وبي ن إذا كان للنظام حل واحد أم عدد ل نهائي من الحلول أم ليس له حل: )الدر س 2-5( ) 2 9 س = 5 ص + 6 ) 2 8 س = ص ) 2 7 ص = 6 س 2 س + ص = 40 2 س + ص = 45 س = 5 ص - 2 ) 0 توفير: يرغب كل من وائل ورياض في شراء دراجة وقد وفر وائل حتى اآلن 5 رياال ويخطط لتوفير 10 رياالت كل أسبوع أما رياض فلديه اآلن 26 رياال ويخطط لتوفير 1 رياال في األسبوع )الدر س 1-5( اأ( بعد كم أسبوع يصبح جمموع ما وفره كل منهام متساوي ا ب( ما مقدار ما يوفره كل منهام حتى ذلك الوقت ) 1 هند سة: بين إذا كان الشكل أب ج د متوازي أضالع أم ال وفس ر إجابتك )الدر س 4-( حل كل معادلة فيما يأتي وتحقق من صحة الحل : )الدر س 2-1( _2 أ = 8 ) ) 2 6 ج = الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية

161 فيما سبق در شت حل نظام من معادلتين بالحذف با شتعمال الجمع اأو الطرح. واالآن أاحل نظام ا من معادلتين بالحذف با شتعمال ال شرب. أاحل م شائل من واقع الحياة تت شمن اأنظمة من معادلتين. حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف با ستعمال ال سرب لماذا باعت مكتبة 70 قلم ا بمبلغ 260 رياال وبناء على القائمة أدناه يمكن كتابة المعادلتين اآلتيتين إليجاد عدد األقالم المبيعة من كل نوع: قلم حبر 4 ريالت 4 س + 2 ص = 260 قلم ر سا س ريالن س + ص = 70 الحذف با ستعمال ال سرب: ال يمكن حذف أي من المتغيرين بالجمع أو الطرح في النظام أعاله إال أنه يمكن حذف أحد المتغيرين باستعمال الضرب في مثل هذه الحالة مفهوم اأ سا سي الحل بالحذف الخطوة 1: اضرب إحدى المعادلتين على األقل في عدد ثابت للحصول على معادلتين فيهما حدان أحدهما معكوس لآلخر الخطوة 2: اجمع المعادلتين أو اطرحهما للتخلص من أحد المتغيرين ثم حل المعادلة اأ سف اإلى الخطوة : عوض عن قيمة المتغير الناتجة في الخطوة )2( في إحدى المعادلتين وحلها إليجاد قيمة المتغير الثاني واكتب الحل على صورة زوج مرتب obeikaneducation.com مثال 1 استعمل الحذف لحل المعادلتين: 5 س + 6 ص = 8-2 س + ص = 5- الخطوتان 1 و 5 س :2 + 6 ص = 8-2 س + ص = 5- سرب معادلة لحذف اأحد المتغيرين ا سرب كل حد في )-2( الخطوة 2 س : + ص = -5 المعادلة الثانية اجمع حذف ص 5 س + 6 ص = 8- )+( - 4 س - 6 ص = 10 س = 2 2)2( + ص = -5 عوض عن س ب 2 ص + 4 = 5- بس ط الحل هو )2 -( تحقق من فهمك ص = -9 اطرح 4 من كل الطرفين ص = - اقسم كل الطرفين على 1 اأ( 6 س - 2 ص = 10 1 ب( 9 ر + ك = 1 س - 7 ص = 19- ر + 2 ك = 4- الدر س 4-5: حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف با شتعمال ال شرب 161

162 اإر سادات للدرا سة اختيار المتغير الذي يجب حذفه: يمكنك حذف أي متغير في النظام إذا لم يطلب منك إيجاد قيمة متغير محدد 162 الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية أحيان ا نحتاج إلى ضرب كل معادلة في عدد مختلف لحل المعادلتين مثال 2 حل المعادلتين اآلتيتين مستعمل الحذف : 4 س + 2 ص = 8 س + ص = 9 الطريقة 1: حذف المتغير س. 4 س + 2 ص = 8 س + ص = 9 سرب كلتا المعادلتين لحذف اأحد المتغيرين اضرب ب اضرب ب -4 اجمع تم حذف المتغير س اقسم كال الطرفين على -6 بس ط تم حذف المتغير ص اقسم كال الطرفين على 6 بس ط 12 س + 6 ص = 24 )+( - 12 س - 12 ص= ص = 12- _12-6- = - 6 ص _ 6- ص = 2 اآلن عوض عن ص ب 2 في إحدى المعادلتين إليجاد قيمة س المعادلة الثانية س + ص = 9 عوض عن ص ب 2 س + )2( = 9 بس ط س + 6 = 9 س = اطرح 6 من كل الطرفين _ اقسم كل طرف على = _ الحل 1( )2 س = 1 حذف المتغير ص. الطريقة 2: اضرب ب اضرب ب -2 4 س + 2 ص = 8 س + ص = 9 12 س + 6 ص = 24 )+( 6- س - 6 ص = 18-6 س = 6 _6 6 = 6 س _ 6 س = 1 واآلن عوض عن س= 1 بإحدى المعادلتين إليجاد قيمة ص المعادلة الثانية س + ص = 9 عوض عن س ب 1 )1( + ص = 9 بس ط ص= + 9 ص = 6 اطرح من كل الطرفين ثم بس ط _6 اقسم كل الطرفين على = _ بس ط ص = 2 الحل هو )1 2( ويتطابق مع الحل الذي حصلنا عليه بالطريقة األولى تحقق: عوض عن س ب )1( وعن ص ب 2 في المعادلة األولى المعادلة األصلية 4 س + 2 ص = 8 عوض عن )س ص( ب 1(.)2 )1(4 + )2(2 8 اضرب اجمع = 8 8

163 تحقق من فهمك 2 اأ( 5 س - ص = 6 2 ب( 6 أ + 2 ب = 2 2 س + 5 ص = 10-4 أ + ب = 8 حل م سائل من واقع الحياة: قد يكون من الضروري استعمال الضرب قبل الحذف أحيان ا عند حل مسائل من واقع الحياة مثال من واقع الحياة كتابة نظام من معادلتين وحله طيران: تطير طائرة في اتجاه الريح بمعدل 520 ميل في 4 ساعات وفي رحلة العودة تستغرق 5 ساعات لقطع المسافة نفسها أوجد سرعة الطائرة في األجواء الساكنة. ليكن أ = معدل سرعة الطائرة في األجواء الساكنة و= معدل سرعة الريح في اتجاه الريح في عك س اتجاه الريح ال سرعة اأ + و اأ - و الزمن 4 5 الم سافة ف ال سرعة الزمن = ف )اأ + و( 4 = 520 )اأ - و( 5 = 520 فتكون المعادلتان هما: 4 أ + 4 و = أ 5 و = 520 اضرب ب 5 اضرب ب 4 اجمع حذف المتغير س اقسم كال الطرفين على 40 بس ط 20 أ + 20 و = 2600 )+( 20 أ - 20 و = أ = 4680 _ = 40 أ_ 40 أ = أ+ 4 و = أ- 5 و = 520 وبذلك يكون معدل سرعة الطائرة في األجواء الساكنة 117 ميال في الساعة تحقق من فهمك ( زورق: يقطع زورق 4 أميال في الساعة في اتجاه التيار ويستغرق في رحلة العودة 1.5 ساعة أوجد معدل سرعة القارب في المياه الساكنة تاأكد حل كلا من أنظمة المعادلت اآلتية مستعمل الحذف: ) 1 2 س - ص = 4 ) 2 2 س + 7 ص = 1 ) 4 س + 2 ص = 14- المثاالن س + ص = 27 س + 5 ص = 2 5 س + ص = 17- ) 4 سيد: يقطع قارب صيد مسافة 10 أميال في 0 دقيقة في اتجاه مجرى النهر إال أنه يقطع المسافة نفسها في رحلة العودة في 40 دقيقة أوجد معدل سرعته في المياه الساكنة مثال الدر س 4-5: حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف با شتعمال ال شرب 16

164 تدرب وحل الم سائل حل كلا من أنظمة المعادلت اآلتية مستعمل طريقة الحذف: ) 6 س - ص = 8- ) 5 س + ص = 2 - س + 4 ص = 15 7 س + 5 ص = 16 المثاالن 2 1 ) 8 2 س + 5 ص = 11 ) 7 6 س + ص = 9- س + 2 ص = 15-4 س + ص = 1 ) س + 7 ص = 80- ) 9 س + 4 ص = 29 6 س + 5 ص = 4 س + 5 ص = 58- ) س + 2 ص = 0 ) س - ص = - 6 س + ص = 1 10 س + ص = 8 ) 1 نظرية االأعداد: ما العددان اللذان سبعة أمثال أحدهما زائد ثالثة أمثال اآلخر يساوي سالب واحد ومجموعهما يساوي سالب ثالثة المثال ) 1 4 كرة قدم: سجل أحد العبي كرة القدم )12( هدف ا في الدوري الممتاز فإذا علمت أن ضعف عدد األهداف التي سجلها في مرحلة الذهاب تزيد على ثالثة أمثال أهدافه في مرحلة اإلياب ب 4 فما عدد أهدافه في كل من مرحلتي الذهاب واإلياب حل كلا من أنظمة المعادلت اآلتية مستعمل طريقة الحذف: 2 _ 4 ) س ص = ) 1 6 _1 س + 4 ص = ص = _1 2 س + ص = 7.5 س + _1 الخوارزمي ) 164 ه 22 ه(: هو أبوعبدالله محمد بن موسى الخوارزمي وقد أسهم كثير ا في تطور علوم الرياضيات والجغرافيا والفلك ومن أشهر كتبه الجبر والمقابلة ) 1 7 هند سة: إذا علمت أن التمثيل البياني للمعادلتين س+ 2 ص= 2 س+ص= 6 9 يشتمل على ضلعين من أضالع مثلث وأن نقطة تقاطع المستقيمين هي رأس المثلث فأجب عن األسئلة اآلتية: اأ( ما إحداثيات رأس المثلث ب( ارسم هذين المستقيمين وعين رأس المثلث ج( إذا كان التمثيل البياني للمعادلة س-ص= - يشمل الضلع الثالث للمثلث فارسم هذا المستقيم على الشكل نفسه د( أوجد إحداثيات الرأسين اآلخرين للمثلث 164 الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية ) 1 8 اختبارات: اكتشف معلم أنه عكس درجة أحد طالبه أثناء رصدها مما أخ ر ترتيبه بين األوائل فأخبر الطالب وبي ن له أن مجموع رقمي درجته يساوي 14 والفارق بين درجتيه الحالية والصحيحة 6 درجة وطلب إليه أن يتعرف درجته الصحيحة وسوف يكافئه فما الدرجة الصحيحة

165 م سائل مهارات التفكير العليا ) 1 9 تبرير: وضح كيف يمكنك تعرف نظام المعادلتين الخطيتين الذي له عدد ال نهائي من الحلول ) 2 0 اكت سف الخطاأ: حل كل من سعيد وحسين نظام ا من معادلتين فأيهما إجابته صحيحة فس ر إجابتك ح صين 2 ر + 7 ت = 11 )-( ر 9 ت = 7- ر = 18 2 ر + 7 ت = 11 )18(2 + 7 ت = ت = 11 7 ت = 25-7 ت_= - _ ت =.6- لحل 18(.).6- صعيد 2 ر + 7 ت = 11 ر 9 ت = 7-2 ر + 7 ت = 11 )-( 2 ر 18 ت = ت = 25 ت = 1 2 ر + 7 ت = 11 2 ر + )1(7 = 11 2 ر + 7 = 11 2 ر = 4 2 ر_= 4_ 2 ر = 2 لحل 2(.)1 ) 2 1 م ساألة مفتوحة: اكتب نظام ا من معادلتين يمكن حله بضرب إحدى معادلتيه في - ثم جمع المعادلتين مع ا ) 2 2 تحد : إذا كان حل النظام: 4 س+ 5 ص= 6 س- 2 ص= 2 ب هو ) أ( فأوجد قيمة كل من: أ ب موضح ا خطوات الحل التي استعملتها ) 2 اكتب: وضح كيف تحدد المتغير الذي ينبغي حذفه باستعمال الضرب تدريب على اختبار ) 2 4 ما الزوج المرتب الذي يمثل حل النظام اآلتي : 2 س - ص = 9- -س + ص = 6 اأ( ( ) ج( -( )1 ب( -( ) د( 1( )- مراجعة تراكمية حل كلا من أنظمة المعادلت اآلتية مستعمل طريقة الحذف: )الدر س -5( ) 2 5 احتمال: يبين الجدول أدناه نتائج رمي مكعب أرقام فما االحتمال التجريبي لظهور العدد الناتج التكرار ب( _1 ج( 0.2 د( 0.1 _2 اأ( ) س - 4 ز = 6 ) س + ك = 9- ) ق + ه = 7-6 ق + ه = 9- س + ك = - س - 4 ز = - حل كل متباينة فيما يأتي ومثل مجموعة حلها بيانيا ا: )الدر س 5-4( ) 2 9 م ) 0 ك + 11 < 5 ) 1 2 و + 9 > 11 ) 2 2 ر ) إذا علمت أن د)س(= س- 1 فما قيمة د)- 4 ( )الدر س 2-2( الدر س 4-5: حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف با شتعمال ال شرب 165

166 فيما سبق در شت حل نظام من معادلتين بالتعوي ص اأو بالحذف. واالآن أاحدد اأف شل الطرق لحل نظام من معادلتين. أاحل م شائل تطبيقية على اأنظمة المعادلت الخطية. تطبيقات على النظام المكون من معادلتين خطيتين لماذا قطع أحمد في طوافه حول الكعبة وسعيه بين الصفا والمروة في أثناء أدائه العمرة مسافة 100 متر ا تقريب ا وكانت مسافة طوافه كاملة مساوية لمسافة أحد أشواط السعي يعبر عن المسافة التي قطعها أحمد في طوافه وسعيه بالمعادلة: س + ص = 100 ويعبر عن العالقة بين 7 س مسافة الطواف ومسافة السعي بالمعادلة ص = 1_ حيث س تمثل مسافة السعي ص مسافة الطواف يمكنك حل هذا النظام إليجاد المسافة التي قطعها في كل من السعي والطواف obeikaneducation.com تحديد اأف سل طريقة: تعلمت سابق ا خمس طرائق لحل أنظمة المعادالت الخطية والجدول أدناه يبين أفضل حالة الستعمال كل منها مفهوم اأ سا سي حل نظام مكون من معادلتين خطيتين اإلى اأ سف الطريقة التمثيل البياني التعوي س الحذف با ستعمال الجمع الحذف با ستعمال الطرح الحذف با ستعمال ال سرب اأف سل حالة ال ستعمالها لتقدير الحلول فالتمثيل البياني ال يعطي في الغالب ح ال دقيق ا إذا كان معامل أحد المتغيرين في كل من المعادلتين 1 أو 1- إذا كان كل من معاملي أحد المتغيرين في المعادلتين معكوس ا جمعي ا لآلخر إذا كان معامال أحد المتغيرين في المعادلتين متساويين إذا لم يكن أي من المعامالت )1( أو )-1( وليس من السهل التخلص من أحد المتغيرين بجمع المعادلتين أو طرحهما تعد طريقتا التعويض والحذف من الطرائق الجبرية لحل أنظمة المعادالت والطريقة الجبرية عادة تعد أفضل الطرق للحصول على إجابة دقيقة أما التمثيل البياني باستعمال التقنيات أو بدونها فمناسب لتقدير الحل 166 الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية

167 مثال 1 اختيار اأف ضل طريقة حدد أفضل طريقة لحل النظام اآلتي ثم حله: 4 س - 4 ص = 8-8 س + ص = 19 افهم: لتحديد أفضل طريقة لحل نظام من معادلتين انظر إلى معاملي كل حد. خطط: بما أن معاملي كل من المتغيرين س ص في المعادلتين ليسا متساويين أو متعاكسين إذن ال يمكنك استعمال الجمع أو الطرح لحذف أحد المتغيرين وبما أن معامل ص في المعادلة الثانية هو )1( إذن يمكنك استعمال التعويض. حل: حل المعادلة الثانية بالنسبة إلى ص أوالا. - 8 س + ص = 19 المعادلة الثانية - 8 س + ص + 8 س = س أضف 8 س إلى كال الطرفين. ص = س بس ط. واآلن عوض عن المتغير ص في المعادلة األولى ب 8+19 س. 4 س - 4 ص = 8 المعادلة األولى 4 س - 19(4 + 8 س( = 8 عو ض 4 س س = 8 خاصية التوزيع - 28 س - 76 = 8 بس ط س = أضف 76 إلى كال الطرفين - 28 س = 84 بس ط _84-28 س _ = -28 اقسم كال الطرفين على س = - بس ط واآلن عوض عن المتغير س في المعادلة الثانية ب س + ص = 19 المعادلة الثانية )-(8- + ص = 19 س = - ص =-5 بس ط فيكون حل هذا النظام هو )- -5(. تحقق: استعمل الحاسبة البيانية TI - nspire للتحقق من صحة الحل وإن كانت طريقتك الجبرية في الحل صحيحة فإن التمثيل البياني للمعادلتين سيتقاطع في النقطة -(.)5- تحقق من فهمك 1 اأ( 5 س + 7 ص = 2 1 ب( س - 4 ص = س + 7 ص = 9 5 س + 8 ص = 2-1 ج( س - ص = 9 1 د( 5 س - ص = 17 7 س + ص = 7 س + 2 ص = 5 اإر ضادات للدرا ضة طريقة بديلة يمكن حل النظام في المثال ) 1 ( بالحذف باستعمال الضرب وذلك بضرب المعادلة األولى في )2( ثم جمع المعادلتين لحذف المتغير س. الدر س 5-5: تطبيقات على النظام المكون من معادلتين خطيتين 167

168 تطبيق اأنظمة المعادالت الخطية: من الضروري تفسير كل حل في سياق الموقف الذي تعرضه المسألة عند تطبيق أنظمة المعادالت الخطية في المسائل مثال 2 من واقع الحياة تطبيق اأنظمة المعادالت الخطية بطاريق: هناك 17 نوع ا من البطاريق في العالم أكبرها البطريق اإلمبراطور وأصغرها بطريق جالباجوس ويبلغ مجموع طولي هذين النوعين 169 سنتمتر ا ويزيد طول بطريق اإلمبراطور على مثلي طول بطريق جالباجوس بمقدار 22 سنتمتر ا. أوجد طول كل منهما. يعبر عن الطول الكلي للنوعين بالمعادلة ج +ق = 169 حيث ج طول البطريق اإلمبراطور ق طول بطريق جاالباجوس واآلن اكتب معادلة تمثل طول البطريق اإلمبراطور طول جاالباجوس مثلي على زيادة 2 ق + هنالك أربعة أنواع من البطاريق ضمن القائمة المعرضة لخطر االنقراض وهي التي تعيش بالقرب من المناطق المعمورة التعبير اللفظي طول بطريق اإلمبراطور 22 سم = المتغيرات المعادلة ليكن ج= طول اإلمبراطور ق= طول جاالباجوس ج 2 2 = أوال : أعد كتابة المعادلة الثانية: المعادلة الثانية ج = ق اطرح 2 ق من كل الطرفين ج - 2 ق = 22 واآلن يمكنك استعمال الحذف بالطرح لحل نظام المعادلتين. المعادلة األولى ج + ق = 169 اطرح المعادلة الثانية )-( ج - 2 ق = 22 ق = 147 احذف ج. ق 147 = ق = 49 بس ط اقسم كل الطرفين على واآلن عوض عن ق ب 49 في إحدى المعادلتين. المعادلة الثانية ج = ق ق = 49 = 22 + )49(2 بس ط. = 120 وبذلك يكون طول البطريق اإلمبراطور 120 سم وطول البطريق جاالباجوس 49 سم هل هذا الحل منطقي في سياق المسألة تحقق من ذلك وفق المعطيات مجموع طولي النوعين = = 169 سم )49(= 120 سم تحقق من فهمك 2( تطوع: تطوع سعيد لعمل خيري مدة 50 ساعة ويخطط ليتطوع ساعات في كل أسبوع من األسابيع القادمة أما أسامة فهو متطوع جديد يخطط ليتطوع 5 ساعات في كل أسبوع اكتب نظام ا من المعادالت وحله إليجاد بعد كم أسبوع يصبح عدد الساعات التي تطوع بها كل من سعيد وأسامة متساوي ا 168 الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية

169 حدد أفضل طريقة لحل كل نظام فيما يأتي ثم حل ه: ) 1 2 س + ص = 11- ) 2 س + 4 ص = 11 ) س - 4 ص = 5- ) 4 س + 7 ص = 4 مثال 1 تاأكد تدرب وحل الم سائل - 8 س - 5 ص = 9 2 س + ص = 1- - س + 2 ص = 5 س - 7 ص = 12- ) 5 ت سو ق: اشترى عبدالله 4 كراسات و حقائب بمبلغ 181 رياال واشترى عبدالرحمن كراسة وحقيبتين بمبلغ 94 رياال اأ( اكتب نظام ا من معادلتين يمكنك استعماله لتمثيل هذا الموقف ب( حدد أفضل طريقة لحل هذا النظام ج( حل النظام حدد أفضل طريقة لحل كل نظام فيما يأتي ثم حل ه: ) 6 س - 4 ص = 5- ) 7 5 س + 8 ص = 1 ) 8 ص + 4 س = - س - 6 ص = س + 8 ص = 6- ص = - 4 س - 1 مثال 2 مثال 1 تعد المكتبات مراكز إشعاع معرفي ومرافق هامة للمعلومات تنتقي مصادرها وتنظمها وتتيحها لطالبها سواء للدراسة أو للبحث أو للثقافة العامة مثال ) 9 2 سكان: بلغ مجموع عدد سكان محافظتي خميس مشيط وبيشة )في العام 141 ه( نحو 720 ألف ا فإذا علمت أن عدد سكان خميس مشيط يقل بمقدار 80 ألف ا عن ثالثة أمثال عدد سكان بيشة فاكتب نظام ا من معادلتين وحله إليجاد عدد سكان كل محافظة منهما ) 1 0 اآثار: تبلغ مجموع مساحتي قصر ابن شعالن في القريات وقصر صاهود في األحساء نحو 1000 متر مربع وتزيد مساحة قصر صاهود على مثلي مساحة قصر ابن شعالن بنحو 4000 متر مربع أوجد مساحة كل قصر منهما ) 1 1 تعرف نقطة التعادل بأنها النقطة التي يتساوى فيها الدخل مع المصاريف فإذا دفعت دار النشر 1200 ريال إلعداد كتاب و 25 رياال تكاليف طباعة النسخة الواحدة فما عدد النسخ التي يتعين بيعها لتخطي نقطة التعادل علم ا أنها تبيع النسخة الواحدة بمبلغ 40 رياال فسر إجابتك ) 1 2 تدوير: يقوم محمد وصالح بتجميع الورق والبالستيك المستعمل وبيعه من أجل تدويره كما في الجدول المقابل وحصل محمد على رياال وصالح على 50 رياال مقابل ذلك اأ( عين المتغيرات واكتب نظام ا من معادلتين خطيتين لهذا الموقف ب( ما سعر الكيلوجرام الواحد من البالستيك المادة البال شتيك الورق الوزن المدور)كجم( محمد سالح ) 1 مكتبات: تقدمإحدىالمكتباتعرض ا فتبيعالكتاب ذاالغالفالمقوىوالمجلدب 40 رياال والكتابغير المجلدب 0 رياال فإذادفععبدالحكيم 290 رياال ثمن ال 8 كتب فماعددالكتب المجلدة التياشتراها ) 1 4 قيادة سيارات: قاد أشرف سيارته مسافة 90 كيلو متر ا وكان معدل سرعة السيارة )ر( كلم في الساعة _ ر( كلم في الساعة فإذا استغرقت 4 وفي رحلة العودة زادت حركة السيارات فأصبحت سرعة السيارة ( الرحلةكاملة ساعة و 45 دقيقة فأوجد معدل سرعة السيارة في كل من رحلتي الذهاب واإلياب الدر س 5-5: تطبيقات على النظام المكون من معادلتين خطيتين 169

170 م سائل مهارات التفكير العليا ) 1 5 م ساألة مفتوحة: كو ن نظام ا من معادلتين يمث ل موقف ا في المدرسة وصف الطريقة التي تستعملها لحل هذا النظام ثم حله وفس ر معناه ) 1 6 تبرير: في نظام من معادلتين إذا كان س يمثل الزمن المستغرق في قيادة دراجة هوائية ص تمثل المسافة المقطوعة وحل النظام هو )-1 7( فاستعمل هذه المسألة لمناقشة أهمية تحليل الحل وتفسيره في سياق المسألة ) 1 7 تحد : حل نظام المعادلتين اآلتي باستعمال ثالث طرائق مختلفة ووضح خطوات الحل: 4 س + ص = 1 6 س - ص = 7 ) 1 8 اكتب سوؤاال : يد عي أحد الطالب بأن الحذف هو أفضل طريقة لحل أنظمة المعادالت اكتب سؤاال تبين فيه خطأ هذا االد عاء ) 1 9 أي أنظمة المعادالت اآلتية يختلف عن األنظمة الثالثة األخرى س - ص = 2 ص = 1 س + _1 - س + ص = 0 5 س = 2 ص ص = س - 4 ص = 2 س _ ص = س + 1 ص = س 2 0 (اكتب: وضح متى يكون التمثيل البياني أفضل طريقة لحل نظام من معادلتين ومتى تكون الطريقة الجبرية أفضل تدريب على اختبار ) 2 1 إذا كان 5 س+ ص= 4 س- 5 ص= فما قيمة ص اأ( 1- ب( ج( 1-( ) د( ( )1- ) 2 2 أي أنظمة المعادالت اآلتية يمثل الشكل المجاور حال له د( ص= 5 س- 15 ج( ص= 5 س- 15 ب( ص= - س+ 11 اأ( ص= - س+ 11 ص= 2 س ص= س+ 7 2 ص= 4 س- 5 ص= 5 س- 9 مراجعة تراكمية حل كل نظام فيما يأتي مستعمل طريقة الحذف: )الدر س 4-5( ) س + 2 ص = 10 ) س + 2 ص = 0 ) 2 س + ص = س - 4 ص = 12-2 س - ص = 16 5 س - ص = 7 ) 2 6 حل المتباينة: س- 2 )الدر س )5-4 حل كل معادلة فيما يأتي: )الدر س -1( ) س + 10 = 19 ) = 4 ت - 7 ) 2 9 حل المعادلة: 2 س + 4 = 6 بياني ا )الدر س ) الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية

171 اختبار الف سل ) 9 اختيار من متعدد: ما الزوج المرتب الذي يمثل حلا للنظام اآلتي 6 س - 4 ص = 6-6 س + ص = 0 مستعمل التمثيل البياني أدناه حدد خصائص كل نظام فيما يأتي من حيث كونه متسق ا أم غير متسق ومستقل أم غير مستقل: اأ( 5( )6 ج( 1( )0 ب( -( )6- د( 4( )8- ) 1 0 ت سو ق: اشترى فيصل 8 كتب ومجالت إلبنائه بقيمة 175 رياال فإذا كان ثمن الكتاب 25 رياال وثمن المجلة 20 رياال فما عدد كل من الكتب والمجالت التي اشتراها ) 1 ص = 2 س - 1 ) 2 ص = - 2 س + ص = - 2 س + ص = - 2 س (ب ستنة: لدى عبد الكريم 42 متر ا من السياج إلحاطة حديقته فإذا كانت مزرعته مستطيلة الشكل وطولها يساوي مثلي عرضها ناقص أمتار عر ف المتغيرات واكتب نظام ا من معادلتين إليجاد طول الحديقة وعرضها ثم حل النظام باستعمال التعويض مث ل كلا من أنظمة المعادلت اآلتية بيانيا ا وحد د عدد حلوله وإن كان له حل واحد فاكتبه: ) ص = 2 س ص = 6 - س ) 4 س - ص = 4 س + ص = 10 ) 5 2 س + ص = 4 2 س + ص = 1- حل النظام اآلتي بالتعويض: ) 1 2 مجل ت: اشترك أحمد في المجلتين الرياضية والعلمية فإذا تلقى هذا العام 24 نسخة من كلتا المجلتين وكان عدد نسخ المجلة العلمية أقل من مثلي عدد نسخ المجلة الرياضية بمقدار 6 فعر ف المتغيرات واكتب نظام ا من معادلتين إليجاد عدد المجالت من كل نوع ) 6 ص = س س + ص = 10- حل كلا من النظامين اآلتيين بالحذف: ) 7 س + ص = 1 س - ص = 5 ) 8 س + 7 ص = 2 س - 4 ص = 1 الف سل 5: اختبار الف شل 171

172 اختبار تراكمي )2( اختيار من متعدد اقرأ كل سؤال فيما يأتي ثم اختر رمز اإلجابة الصحيحة: ) 1 أي المصطلحات اآلتية يصف نظام المعادلتين الممثل بياني ا ) 5 ما الزوج المرتب الذي يمثل حال للنظام اآلتي س + 2 ص = 2-2 س - 2 ص = 18- اأ( 1( ) ج( 4-( )5 ب( 7( )4- د( 2-( )- ) 6 ما حل المتباينة < 5 2 س + 5 < 7 اأ( < 0 س < 2 ج( < 0 س < 4 ب( < 5 س < 6 د( < 0 س < 1 اأ( متسق ج( متسق وغير مستقل ب( متسق ومستقل د( غير متسق ) 2 ما الزوج المرتب الذي يمثل حال للنظام اآلتي ص= 4 س- 7 س- 2 ص= -1 اأ( ( )5 ج( 5( )2- ب( 4( )1- د( 6-( )2 ) ما الزوج المرتب الذي يمثل حال للنظام اآلتي ) 7 ما متباينة القيمة المطلقة للتمثيل البياني التالي: اأ( س+ 1 < ج( س+ 1 ب( س+ 1 د( س+ 1 > ) 8 مع أحمد وشقيقه 15 رياال يريدان أن يشتريا بها دفترين وعدد ا من أقالم الرصاص فإذا كان ثمن الدفتر 6 رياالت وثمن قلم الرصاص 0.75 ريال فما أكبر عدد ممكن من أقالم الرصاص يمكنهما شراؤه اأ( ج( 5 ب( 4 د( 6 س - 8 ص = 50- س - 5 ص = 8- ) 9 _4 7 ) 2 ج( ( - _2 _ 8 _5 اأ( ( ب( 6-( )4 د( 4( )9- ) 4 ماحل المتباينة: 2 س -6 اأ( س - ج( س ب( س د( س الف سل 5: اأنظمة المعادلت الخطية